Estudio de funciones y cálculo de áreas con exponenciales

**Tarea a, [0,5 puntos]. Halla los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de abscisas OX y los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de ordenadas OY.** Para hallar los puntos de corte con los ejes, analizamos los casos en los que una de las coordenadas es cero: 1. **Corte con el eje OY ($x = 0$):** Evaluamos la función en $x=0$: $$f(0) = (0^2 - 2)e^{2(0)} = (-2)e^0 = -2 \cdot 1 = -2.$$ El punto de corte es **$(0, -2)$**. 2. **Corte con el eje OX ($f(x) = 0$):** Igualamos la función a cero: $$(x^2 - 2)e^{2x} = 0.$$ Como la función exponencial $e^{2x}$ siempre es positiva ($e^{2x} \gt 0$), la única posibilidad es que el factor polinómico sea nulo: $$x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}.$$ Los puntos de corte son **$(-\sqrt{2}, 0)$** y **$(\sqrt{2}, 0)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que $e^u$ nunca se anula para ningún valor real de $u$. ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{OY: (0, -2); \quad OX: (-\sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)}$$

**Tarea b, [1 punto]. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.** Para estudiar la monotonía, primero calculamos la derivada $f'(x)$ utilizando la regla del producto: $$f'(x) = [x^2 - 2]' \cdot e^{2x} + (x^2 - 2) \cdot [e^{2x}]'$$ $$f'(x) = 2x e^{2x} + (x^2 - 2)(2e^{2x}) = 2e^{2x} [x + x^2 - 2] = 2e^{2x}(x^2 + x - 2).$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$2e^{2x}(x^2 + x - 2) = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0.$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}.$$ Esto nos da dos soluciones: $$x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2.$$ 💡 **Tip:** La derivada de $e^{g(x)}$ es $g'(x)e^{g(x)}$. En este caso, $(e^{2x})' = 2e^{2x}$.

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos $x = -2$ y $x = 1$. Como $2e^{2x} \gt 0$, el signo depende exclusivamente de la parábola $x^2 + x - 2$. $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ **Justificación del signo:** - Para $x \in (-\infty, -2)$, tomamos $x = -3$: $f'(-3) = 2e^{-6}(9-3-2) \gt 0$ (**Creciente**). - Para $x \in (-2, 1)$, tomamos $x = 0$: $f'(0) = 2e^0(0+0-2) \lt 0$ (**Decreciente**). - Para $x \in (1, +\infty)$, tomamos $x = 2$: $f'(2) = 2e^4(4+2-2) \gt 0$ (**Creciente**). ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente en: } (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) \\ &\text{Decreciente en: } (-2, 1) \end{aligned}}$$

**Tarea c, [1 punto]. Calcula el área comprendida entre la curva $y = f(x)$, el eje OX y las rectas $x = -2$ y $x = 1$.** Primero, calculamos la integral indefinida $I = \int (x^2 - 2)e^{2x} \, dx$ mediante integración por partes $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: 1. Sea $u = x^2 - 2 \implies du = 2x \, dx$ 2. Sea $dv = e^{2x} \, dx \implies v = \frac{1}{2}e^{2x}$ $$I = \frac{1}{2}(x^2 - 2)e^{2x} - \int x e^{2x} \, dx$$ Aplicamos integración por partes de nuevo para $\int x e^{2x} \, dx$: 1. Sea $u = x \implies du = dx$ 2. Sea $dv = e^{2x} \, dx \implies v = \frac{1}{2}e^{2x}$ $$\int x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}xe^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}.$$ Sustituimos en la expresión original y simplificamos para obtener la primitiva $F(x)$: $$F(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 2)e^{2x} - \left[ \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} \right] = e^{2x} \left[ \frac{1}{2}x^2 - 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \right]$$ $$F(x) = e^{2x} \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} \right) = \frac{e^{2x}}{4}(2x^2 - 2x - 3).$$

El área solicitada está entre $x = -2$ y $x = 1$. La función corta al eje OX en $x = -\sqrt{2} \approx -1,41$ y $x = \sqrt{2} \approx 1,41$ (este último fuera del intervalo). Por tanto, debemos dividir la integral en dos regiones: 1. En $x \in [-2, -\sqrt{2}]$, $f(x) \ge 0$. 2. En $x \in [-\sqrt{2}, 1]$, $f(x) \le 0$. $$\text{Área} = \int_{-2}^{-\sqrt{2}} f(x) \, dx + \left| \int_{-\sqrt{2}}^{1} f(x) \, dx \right| = [F(x)]_{-2}^{-\sqrt{2}} + |[F(x)]_{-\sqrt{2}}^{1}|$$ Calculamos los valores de la primitiva: - $F(-2) = \frac{e^{-4}}{4}(2(-2)^2 - 2(-2) - 3) = \frac{9}{4e^4}$ - $F(-\sqrt{2}) = \frac{e^{-2\sqrt{2}}}{4}(2(2) - 2(-\sqrt{2}) - 3) = \frac{e^{-2\sqrt{2}}}{4}(1 + 2\sqrt{2})$ - $F(1) = \frac{e^{2}}{4}(2(1)^2 - 2(1) - 3) = -\frac{3e^2}{4}$ Finalmente, sumamos las áreas absolutas: $$\text{Área} = \left(F(-\sqrt{2}) - F(-2)\right) + \left(F(-\sqrt{2}) - F(1)\right) = 2F(-\sqrt{2}) - F(-2) - F(1)$$ $$\text{Área} = \frac{e^{-2\sqrt{2}}}{2}(1 + 2\sqrt{2}) - \frac{9}{4e^4} + \frac{3e^2}{4} \approx 6,64 \text{ u}^2.$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{1+2\sqrt{2}}{2e^{2\sqrt{2}}} - \frac{9}{4e^4} + \frac{3e^2}{4} \text{ u}^2}$$