Continuidad, asíntotas y recta tangente de una función racional y exponencial

**Tarea a, [0,75 puntos]. Determina el valor del parámetro $k$ para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$.** Para que la función sea continua en $x=2$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista $f(2)$. En este caso, $f(2) = e^k$. 2. Que exista el límite $\lim_{x \to 2} f(x)$. 3. Que coincidan: $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$. Calculamos el límite de la primera rama cuando $x$ tiende a 2: $$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \frac{2^3 - 8}{2^2 - 4} = \frac{0}{0}$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{3x^2}{2x} = \lim_{x \to 2} \frac{3x}{2} = \frac{3(2)}{2} = 3.$$ Igualamos el límite al valor de la función en el punto: $$e^k = 3 \implies k = \ln(3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital se aplica cuando el límite presenta indeterminaciones del tipo $0/0$ o $\infty/\infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = \ln(3)}$$

**Tarea b, [1 punto]. Si existen, halla las asíntotas de $f(x)$ y especifica de qué tipo son.** Primero, analizamos el dominio de la función. La expresión $\frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ no está definida donde el denominador se anula: $x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2$. Sin embargo, la función está definida específicamente en $x=2$ por la segunda rama (donde hemos visto que si $k=\ln 3$ es continua, y si no, tendría una discontinuidad evitable o de salto finito, pero no una asíntota). Estudiamos el comportamiento en **$x = -2$**: $$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \frac{(-2)^3 - 8}{(-2)^2 - 4} = \frac{-8 - 8}{4 - 4} = \frac{-16}{0} = \pm \infty$$ Al ser el límite infinito, existe una **asíntota vertical** en $x = -2$. 💡 **Tip:** Una función racional tiene asíntotas verticales en los ceros del denominador que no anulan al numerador (o que lo anulan con menor multiplicidad). ✅ **Resultado (A.V.):** $$\boxed{x = -2}$$

Para las **asíntotas horizontales**, calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \pm \infty$$ Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, **no hay asíntotas horizontales**. Buscamos una **asíntota oblicua** $y = mx + n$: $$m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 8}{x(x^2 - 4)} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 8}{x^3 - 4x} = 1$$ Ahora calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} - x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 8 - x(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 8 - x^3 + 4x}{x^2 - 4}$$ $$n = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{4x - 8}{x^2 - 4} = 0$$ La asíntota oblicua es $y = 1x + 0$, es decir, $y = x$. ✅ **Resultado (A.O.):** $$\boxed{y = x}$$

**Tarea c, [0, 75 puntos]. Obtén la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x = 1$.** La ecuación de la recta tangente en $x=a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. En este caso $a=1$. 1. **Punto de tangencia:** Como $1 \neq 2$, usamos la primera rama: $$f(1) = \frac{1^3 - 8}{1^2 - 4} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$$ 2. **Pendiente ($m = f'(1)$):** Derivamos la función usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{3x^2(x^2 - 4) - (x^3 - 8)(2x)}{(x^2 - 4)^2}$$ $$f'(x) = \frac{3x^4 - 12x^2 - 2x^4 + 16x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^4 - 12x^2 + 16x}{(x^2 - 4)^2}$$ Evaluamos en $x = 1$: $$f'(1) = \frac{1^4 - 12(1)^2 + 16(1)}{(1^2 - 4)^2} = \frac{1 - 12 + 16}{(-3)^2} = \frac{5}{9}$$ 3. **Ecuación de la recta:** $$y - \frac{7}{3} = \frac{5}{9}(x - 1)$$ Multiplicamos todo por 9 para simplificar o despejamos $y$: $$y = \frac{5}{9}x - \frac{5}{9} + \frac{21}{9} \implies y = \frac{5}{9}x + \frac{16}{9}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = \frac{5}{9}x + \frac{16}{9}}$$