Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetros

**Tarea a, [1,5 puntos]. Halla los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible.** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & -1 \\ 0 & a^2-2 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & -1 & 1 \\ 0 & a^2-2 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & -1 \\ 0 & a^2-2 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [a \cdot (a^2-2) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 \cdot 0] - [(-1) \cdot (a^2-2) \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \cdot 1 + a \cdot 0 \cdot 2]$$ $$|A| = (a^3 - 2a - 2) - (a^2 - 2)$$ $$|A| = a^3 - a^2 - 2a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema es compatible si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada (Teorema de Rouché-Frobenius).

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que hacen que el rango de $A$ sea menor que 3: $$a^3 - a^2 - 2a = 0 \implies a(a^2 - a - 2) = 0$$ Las soluciones son: 1. $a = 0$ 2. Resolviendo la ecuación de segundo grado $a^2 - a - 2 = 0$: $$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies a = 2, \quad a = -1$$ Los valores críticos son $a = 0$, $a = 2$ y $a = -1$.

Analizamos los rangos para cada caso: **Caso 1: $a \neq 0, a \neq 2, a \neq -1$** En este caso $|A| \neq 0$, por lo tanto $\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n$ (número de incógnitas). El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $a = 0$** $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Como $|A|=0$, buscamos un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$. Analizamos $A^*$ con el determinante de una submatriz que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = 0$$ (O bien, observando que la fila 2 es $-2$ veces la fila 1). Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $a = 2$** $\text{rg}(A) = 2$ pues $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$. Para $A^*$, tomamos el menor: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -1(-2-2) = 4 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible**. **Caso 4: $a = -1$** De forma análoga, se comprueba que $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema es compatible para } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}}$$

**Tarea b, [1 punto]. Considera $a = 0$. Si el sistema es compatible, halla su solución general.** Sustituimos $a = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} (0)x + y - z = 1 \\ (0^2 - 2)y + 2z = -2 \\ -x + z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y - z = 1 \\ -2y + 2z = -2 \\ -x + z = 0 \end{cases}$$ Observamos que la segunda ecuación es la primera multiplicada por $-2$, por lo que es redundante. El sistema se reduce a: $$\begin{cases} y - z = 1 \\ -x + z = 0 \end{cases}$$ Tomamos $z$ como parámetro libre, $z = \lambda$: 1. De la segunda ecuación: $-x + \lambda = 0 \implies x = \lambda$ 2. De la primera ecuación: $y - \lambda = 1 \implies y = 1 + \lambda$ 💡 **Tip:** Al resolver un sistema compatible indeterminado, el número de parámetros libres es $n - \text{rg}(A) = 3 - 2 = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 1 + \lambda, \lambda) \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$