Invertibilidad de matrices y ecuaciones matriciales

**Tarea a, [1 punto]. Halla los valores del parámetro $a$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($\det(A) \neq 0$). Procedemos a calcular el determinante de $A$ mediante el desarrollo por los elementos de la primera fila: $$\det(A) = \begin{vmatrix} a + 1 & 1 & 1 \\ 1 & a + 3 & 1 \\ 1 & 1 & a + 1 \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = (a+1) \begin{vmatrix} a+3 & 1 \\ 1 & a+1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a+1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & a+3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos los adjuntos de orden 2: 1. $(a+1) [(a+3)(a+1) - 1] = (a+1)(a^2 + 4a + 3 - 1) = (a+1)(a^2 + 4a + 2)$ 2. $-1 [(a+1) - 1] = -a$ 3. $1 [1 - (a+3)] = 1 - a - 3 = -a - 2$ Sumamos los términos: $$\det(A) = (a^3 + 4a^2 + 2a + a^2 + 4a + 2) - a - a - 2$$ $$\det(A) = a^3 + 5a^2 + 4a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es invertible (o regular) si su determinante es no nulo. Si el determinante es cero, la matriz es singular.

Para hallar los valores que hacen que la matriz no tenga inversa, igualamos el determinante a cero: $$a^3 + 5a^2 + 4a = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $a$: $$a(a^2 + 5a + 4) = 0$$ Esto nos da una primera solución: **$a = 0$**. Para las demás, resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(4)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2}$$ Obtenemos: **$a = -1$** y **$a = -4$**. Por tanto, la matriz $A$ tiene inversa para cualquier valor real de $a$ excepto estos tres. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1, -4\}}$$

**Tarea b, [1 punto]. Considera $a = -3$. Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$.** Primero, sustituimos $a = -3$ en la matriz $A$ y comprobamos su determinante: $$A = \begin{pmatrix} -3 + 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 + 3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos $\det(A)$ para $a = -3$ usando la expresión obtenida anteriormente: $$\det(A) = (-3)^3 + 5(-3)^2 + 4(-3) = -27 + 45 - 12 = 6 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, existe $A^{-1}$. La hallamos mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{Adj}(A)^T$. Calculamos los cofactores $C_{ij}$: - $C_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -1$ - $C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2-1) = 3$ - $C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 3$ - $C_{22} = +\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4-1 = 3$ - $C_{23} = -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-2-1) = 3$ - $C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $C_{32} = -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3$ - $C_{33} = +\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ La matriz de cofactores es: $$\text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$ Como la matriz es simétrica, $\text{Adj}(A) = \text{Cof}(A)^T = \text{Cof}(A)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}}$$

**Tarea c, [0,5 puntos]. Considera $a = -3$. Halla, si es posible, la matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación matricial: $AX = B$.** Para despejar $X$ en la ecuación $AX = B$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos miembros: $$A^{-1} \cdot (AX) = A^{-1} \cdot B \implies (A^{-1}A) \cdot X = A^{-1}B \implies I \cdot X = A^{-1}B \implies X = A^{-1}B$$ Utilizamos la matriz $A^{-1}$ calculada en el apartado anterior: $$X = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 2 & 0 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices fila por columna: - Fila 1: $(-1)(-1) + 3(2) + 1(5) = 1 + 6 + 5 = 12$; $(-1)(-3) + 3(0) + 1(3) = 3 + 0 + 3 = 6$ - Fila 2: $3(-1) + 3(2) + 3(5) = -3 + 6 + 15 = 18$; $3(-3) + 3(0) + 3(3) = -9 + 0 + 9 = 0$ - Fila 3: $1(-1) + 3(2) + (-1)(5) = -1 + 6 - 5 = 0$; $1(-3) + 3(0) + (-1)(3) = -3 + 0 - 3 = -6$ $$X = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 12 & 6 \\ 18 & 0 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12/6 & 6/6 \\ 18/6 & 0/6 \\ 0/6 & -6/6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales, el orden importa. Como $A$ está a la izquierda de $X$, debemos multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}$$