Probabilidad y Estadística 2025 Asturias
Esperanza de vida de elefantes: Normal y Binomial
Para resolver este problema de estadística, utilizaremos las propiedades de la **distribución normal** y la **distribución binomial**.
Se nos indica que la esperanza de vida (o duración de la vida) de un elefante, llamémosla $X$, sigue una distribución normal con media $\mu=82$ años y desviación típica $\sigma=30$.
Es decir: $X\sim\mathcal{N}(82,30)$.
(a) ¿Qué porcentaje de población de elefantes se espera que viva más de 100 años?
(b) Si se toma una muestra de 4 elefantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno supere los 100 años de vida?
(c) Calcula un valor $a\in\mathbb{R}$ que haga que el $98\%$ de los elefantes tengan una esperanza de vida menor o igual que $82+a$.
Paso 1
Tipificación y cálculo de probabilidad normal
**(a)** ¿Qué porcentaje de población de elefantes se espera que viva más de 100 años?
Definimos $X$ como la esperanza de vida del elefante, con $X\sim\mathcal{N}(82,30)$. Queremos calcular:
$$P(X>100).$$
Tipificamos pasando a la normal estándar $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ con
$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.$$
Para $X=100$:
$$z=\frac{100-82}{30}=\frac{18}{30}=0.6.$$
Entonces:
$$P(X>100)=P(Z>0.6).$$
Como las tablas suelen dar $P(Z\le z)$, usamos el complementario:
$$P(Z>0.6)=1-P(Z\le 0.6).$$
De tabla: $P(Z\le 0.6)=0.7257$, luego
$$P(X>100)=1-0.7257=0.2743.$$
💡 **Tip:** Tras tipificar, recuerda: $P(Z>a)=1-P(Z\le a)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X>100)=0.2743\approx 27.43\%}$$
Paso 2
Distribución Binomial: Al menos un éxito
**(b)** Si se toma una muestra de 4 elefantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno supere los 100 años de vida?
Definimos $Y$ como el número de elefantes (de los 4) que viven más de 100 años. Suponiendo independencia, cada elefante tiene probabilidad
$$p=P(X>100)=0.2743.$$
Entonces
$$Y\sim\operatorname{Bin}(n=4,p=0.2743).$$
Queremos $P(Y\ge 1)$. Usamos el complementario:
$$P(Y\ge 1)=1-P(Y=0).$$
Con la fórmula binomial:
$$P(Y=0)=\binom{4}{0}p^0(1-p)^4=(1-p)^4=(0.7257)^4.$$
Calculamos:
$$(0.7257)^4\approx 0.2773.$$
Por tanto:
$$P(Y\ge 1)=1-0.2773=0.7227.$$
💡 **Tip:** “Al menos uno” $\Rightarrow$ $1-\text{(ninguno)}$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(Y\ge 1)\approx 0.7227}$$
Paso 3
Cálculo del valor crítico (Normal inversa)
**(c)** Calcula $a\in\mathbb{R}$ tal que el $98\%$ de los elefantes tenga esperanza de vida $\le 82+a$.
Pedimos:
$$P(X\le 82+a)=0.98.$$
Tipificamos:
$$P\left(Z\le \frac{(82+a)-82}{30}\right)=0.98\ \Rightarrow\ P\left(Z\le \frac{a}{30}\right)=0.98.$$
Buscamos en la tabla el valor $z$ tal que $P(Z\le z)=0.98$. Aproximamos con valores cercanos:
- $z=2.05\Rightarrow P(Z\le 2.05)=0.9798$,
- $z=2.06\Rightarrow P(Z\le 2.06)=0.9803$.
Interpolando, tomamos $z\approx 2.054$.
Destipificamos:
$$\frac{a}{30}=2.054\ \Rightarrow\ a=2.054\cdot 30=61.62.$$
💡 **Tip:** Si te dan el porcentaje acumulado y te piden el umbral, primero hallas el $z$-cuantil y luego destipificas.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{a\approx 61.62}$$