Probabilidad con monedas: extracciones simultáneas y sucesivas

**(a) (1.25 puntos) Si sacamos 3 monedas al azar del monedero ¿cuál es la probabilidad de que al menos una sea de 1 euro?** Primero, organizamos la información del monedero: - Monedas de $1€$: $5$ - Monedas de $2€$: $3$ - Monedas de $10$ céntimos: $2$ - **Total de monedas ($n$):** $5 + 3 + 2 = 10$ Para calcular la probabilidad de que **"al menos una"** moneda sea de $1€$, es mucho más eficiente calcular la probabilidad del **suceso contrario**: que ninguna de las $3$ monedas extraídas sea de $1€$. 💡 **Tip:** En problemas de "al menos uno", casi siempre es más rápido usar $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Utilizamos combinatoria para contar las formas de extraer las monedas, ya que el orden no importa en una extracción simultánea de $3$ monedas. 1. **Casos totales ($C_{10,3}$):** Formas de elegir $3$ monedas de las $10$ disponibles. $$C_{10,3} = \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$$ 2. **Casos favorables al suceso contrario:** Queremos elegir $3$ monedas que **no** sean de $1€$. Las monedas que no son de $1€$ son $5$ ($3$ de $2€$ y $2$ de $10c$). $$C_{5,3} = \binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Calculamos la probabilidad del suceso contrario y restamos de la unidad: Probabilidad de que ninguna sea de $1€$: $$P(\text{ninguna } 1€) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}$$ Probabilidad pedida: $$P(\text{al menos una } 1€) = 1 - P(\text{ninguna } 1€) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$$ En valor decimal, esto es aproximadamente $0.9167$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{11}{12} \approx 0.9167}$$

**(b) (1.25 puntos) Sacamos dos monedas una tras otra (sin reemplazamiento) ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea de 10 céntimos?** Para que la segunda moneda sea de $10$ céntimos ($10c_2$), debemos considerar qué ocurrió en la primera extracción ($10c_1$ o no $10c_1$). Representamos la situación con un árbol de probabilidad:

Queremos hallar $P(10c_2)$. Según el teorema de la probabilidad total, sumamos las probabilidades de las ramas que terminan en "2ª: $10c$": $$P(10c_2) = P(10c_1) \cdot P(10c_2 | 10c_1) + P(\overline{10c_1}) \cdot P(10c_2 | \overline{10c_1})$$ Sustituimos los valores del árbol: - $P(10c_1) = \frac{2}{10}$ (hay $2$ de diez céntimos de $10$ totales). - $P(10c_2 | 10c_1) = \frac{1}{9}$ (si salió una, queda $1$ de $10c$ entre $9$ restantes). - $P(\overline{10c_1}) = \frac{8}{10}$ (hay $8$ monedas que no son de $10c$). - $P(10c_2 | \overline{10c_1}) = \frac{2}{9}$ (quedan las $2$ de $10c$ entre $9$ restantes). Operamos: $$P(10c_2) = \left( \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{8}{10} \cdot \frac{2}{9} \right) = \frac{2}{90} + \frac{16}{90} = \frac{18}{90}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $18$: $$\frac{18}{90} = \frac{1}{5} = 0.2$$ 💡 **Tip:** En extracciones sucesivas sin reemplazamiento, si no sabemos qué salió en las anteriores, la probabilidad de que una extracción sea de un tipo coincide con la probabilidad inicial: $2/10 = 1/5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{1}{5} = 0.2}$$