Posiciones relativas de recta y plano. Punto simétrico

Para estudiar la posición relativa entre la recta $r$ y el plano $\pi$, primero necesitamos obtener el vector director de la recta, $\vec{v}_r$. Al venir dada como intersección de dos planos, el vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos. Los vectores normales a los planos que definen $r$ son $\vec{n}_1 = (1, 1, 1)$ y $\vec{n}_2 = (2, -1, 1)$. Calculamos su producto vectorial: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = (1)\vec{i} + (2)\vec{j} + (-1)\vec{k} - (2)\vec{k} - (-\vec{i}) - (1)\vec{j} = (1+1)\vec{i} + (2-1)\vec{j} + (-1-2)\vec{k} = (2, 1, -3)$$ Por otro lado, el vector normal al plano $\pi$ es: $$\vec{n}_\pi = (2, 1, \beta)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de los vectores normales a los planos que definen una recta siempre nos da la dirección de dicha recta.

**(a) (0.75 puntos) Calcular, en caso de que exista, el valor de $\beta \in \mathbb{R}$ que hace que $r$ y $\pi$ sean paralelos.** Para que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi$ (o esté contenida en él), su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Esto se traduce en que su producto escalar debe ser cero: $$\vec{v}_r \perp \vec{n}_\pi \implies \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$(2, 1, -3) \cdot (2, 1, \beta) = 0$$ $$2(2) + 1(1) + (-3)(\beta) = 0$$ $$4 + 1 - 3\beta = 0 \implies 5 = 3\beta \implies \beta = \frac{5}{3}$$ Debemos comprobar si para $\beta = 5/3$ la recta es paralela o está contenida. Tomamos un punto de la recta $r$. Si hacemos $x=0$ en el sistema: $$\begin{cases} y + z = 2 \\ -y + z = 0 \end{cases} \implies 2z = 2 \implies z = 1, y = 1 \implies P(0, 1, 1) \in r$$ Sustituimos $P(0, 1, 1)$ en el plano $\pi$ con $\beta = 5/3$: $$2(0) + 1 + \frac{5}{3}(1) = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3} \neq 3$$ Como el punto no pertenece al plano, la recta es estrictamente paralela. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\beta = \frac{5}{3}}$$

**(b) (0.75 puntos) Calcular, en caso de que exista, el valor de $\beta$ para que el plano y la recta sean perpendiculares.** Para que $r$ y $\pi$ sean perpendiculares, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ deben ser paralelos (proporcionales): $$\vec{v}_r \parallel \vec{n}_\pi \implies \frac{2}{2} = \frac{1}{1} = \frac{-3}{\beta}$$ De la igualdad $1 = \frac{-3}{\beta}$, despejamos: $$\beta = -3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la relación de perpendicularidad entre recta y plano se traduce en paralelismo entre sus vectores característicos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\beta = -3}$$

**(c) (1 punto) Para $\beta = 0$, calcular el simétrico del punto $A(-1, 0, 1)$ respecto del plano $\pi$.** Con $\beta = 0$, el plano es $\pi \equiv 2x + y = 3$. El vector normal es $\vec{n}_\pi = (2, 1, 0)$. Para hallar el simétrico de $A$ respecto a $\pi$, trazamos una recta $s$ que pase por $A$ y sea perpendicular a $\pi$. El vector director de esta recta será el normal del plano: $\vec{v}_s = \vec{n}_\pi = (2, 1, 0)$. La ecuación paramétrica de $s$ es: $$s \equiv \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico $A'$ se encuentra al otro lado del plano, a la misma distancia que $A$, sobre la recta perpendicular al plano que pasa por $A$.

Hallamos el punto de intersección $M$ entre la recta $s$ y el plano $\pi$. Sustituimos las expresiones de $s$ en la ecuación del plano: $$2(-1 + 2\lambda) + (\lambda) = 3$$ $$-2 + 4\lambda + \lambda = 3$$ $$5\lambda = 5 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ en las ecuaciones de $s$ para obtener las coordenadas de $M$: $$x_M = -1 + 2(1) = 1$$ $$y_M = 1$$ $$z_M = 1$$ Por tanto, el punto de intersección es $M(1, 1, 1)$. Este punto es el **punto medio** entre $A$ y su simétrico $A'$.

Si $A' (x', y', z')$ es el simétrico, se cumple que: $$M = \frac{A + A'}{2} \implies A' = 2M - A$$ Calculamos las coordenadas de $A'$: $$x' = 2(1) - (-1) = 2 + 1 = 3$$ $$y' = 2(1) - 0 = 2$$ $$z' = 2(1) - 1 = 1$$ El punto simétrico es $A'(3, 2, 1)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A'(3, 2, 1)}$$