Plano mediador y distancias en el espacio

**### Apartado (a): Ecuación del plano $\pi$** El plano $\pi$ (plano mediador) pasa por el punto medio del segmento $AB$. El punto medio $M$ se calcula promediando las coordenadas de $A(1, 1, 1)$ y $B(-1, 1, 3)$: $$M = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{1 + 1}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right)$$ Operamos para cada coordenada: $$M = \left( \frac{0}{2}, \frac{2}{2}, \frac{4}{2} \right) = (0, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** El punto medio $M$ siempre divide al segmento en dos partes iguales y será el punto de paso de nuestro plano mediador. $$\boxed{M(0, 1, 2)}$$

Como el plano $\pi$ debe ser perpendicular a la recta que contiene a $A$ y $B$, el vector director de dicha recta, $\vec{AB}$, será el vector normal $\vec{n}$ del plano. Calculamos el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 1 - 1, 3 - 1) = (-2, 0, 2)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por 2 (o por $-2$) para trabajar con valores más sencillos, ya que solo nos importa la dirección: $$\vec{n} = (1, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al vector normal sirve para definir la orientación del plano. $$\boxed{\vec{n} = (1, 0, -1)}$$

La ecuación general de un plano con vector normal $\vec{n}(a, b, c)$ es $ax + by + cz + d = 0$. Usando $\vec{n}(1, 0, -1)$: $$1x + 0y - 1z + d = 0 \Rightarrow x - z + d = 0$$ Para hallar $d$, sustituimos el punto $M(0, 1, 2)$ que pertenece al plano: $$0 - 2 + d = 0 \Rightarrow d = 2$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{x - z + 2 = 0}$$

**### Apartado (b): Distancias de $A$ y $B$ al plano $\pi$** Usamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $ax+by+cz+d=0$: $$d(P, \pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$ Para $A(1, 1, 1)$: $$d(A, \pi) = \frac{|1(1) + 0(1) - 1(1) + 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414$$ Para $B(-1, 1, 3)$: $$d(B, \pi) = \frac{|1(-1) + 0(1) - 1(3) + 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|-1 - 3 + 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414$$ 💡 **Tip:** En un plano mediador, las distancias de los extremos al plano siempre deben ser iguales. $$\boxed{d(A, \pi) = d(B, \pi) = \sqrt{2} \text{ unidades}}$$

**### Apartado (c): Comprobar equidistancia para un punto cualquiera del plano** Elegimos un punto $P$ que cumpla $x - z + 2 = 0$. Si hacemos $x = 1$ y $y = 0$: $$1 - z + 2 = 0 \Rightarrow z = 3$$ El punto elegido es **$P(1, 0, 3)$**. Calculamos la distancia $d(P, A)$ y $d(P, B)$ usando la fórmula de la distancia entre dos puntos $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$: * $d(P, A) = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ * $d(P, B) = \sqrt{(1-(-1))^2 + (0-1)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{5}$ Como $d(P, A) = d(P, B)$, se confirma que el punto del plano equidista de los extremos. ✅ **Conclusión:** Cualquier punto del plano mediador cumple la propiedad de equidistancia. $$\boxed{d(P, A) = d(P, B) = \sqrt{5}}$$