Primitivas y determinación de parámetros

**a) Determinar la función $g(x)$ en función de los parámetros $a$ y $b$** Por definición, si $G(x)$ es una primitiva de $g(x)$, entonces la derivada de $G(x)$ es igual a $g(x)$: $$g(x) = G'(x)$$ Derivamos $G(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + bx + 5$ término a término con respecto a $x$: $$g(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + bx + 5 \right)$$ $$g(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2ax + b + 0$$ $$g(x) = x^2 + 2ax + b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una constante es cero y que para derivar una potencia $x^n$ bajamos el exponente multiplicando y restamos uno al grado: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{g(x) = x^2 + 2ax + b}$$

**b) ¿Podría dar la forma de todas las primitivas de $g$ en función de una constante $K$?** Todas las primitivas de una función difieren entre sí por una constante aditiva. Si $G(x)$ es una primitiva particular de $g(x)$, cualquier otra primitiva $F(x)$ tendrá la forma: $$F(x) = \int g(x) \, dx = G(x) + C$$ Dado que $G(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + bx + 5$, la familia de todas las primitivas se obtiene sumando una constante genérica a la parte variable. Podemos redefinir la constante sumando $5 + C = K$, de modo que: $$F(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + bx + K$$ 💡 **Tip:** La integral indefinida representa el conjunto de todas las funciones que tienen la misma derivada. Gráficamente, son curvas desplazadas verticalmente una respecto a otra. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{F(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + bx + K, \text{ donde } K \in \mathbb{R}}$$

**c) Sabiendo que $g(1) = 2$ y $g(0) = 1$, determinar la función $g$** Utilizamos la expresión obtenida en el apartado (a), $g(x) = x^2 + 2ax + b$, y aplicamos las condiciones dadas: 1. **Usando $g(0) = 1$:** $$g(0) = 0^2 + 2a(0) + b = 1 \implies b = 1$$ 2. **Usando $g(1) = 2$:** Sustituimos el valor de $b=1$ en la función: $g(x) = x^2 + 2ax + 1$. Ahora aplicamos la condición: $$g(1) = 1^2 + 2a(1) + 1 = 2$$ $$2 + 2a = 2$$ $$2a = 0 \implies a = 0$$ Sustituimos $a=0$ y $b=1$ en la expresión original de $g(x)$: $$g(x) = x^2 + 2(0)x + 1 = x^2 + 1$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable sustituir primero el valor de $x=0$ si está disponible, ya que suele anular muchos términos y facilitar el despeje de los coeficientes. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{g(x) = x^2 + 1}$$