Primitiva con condición inicial y cálculo de áreas

**(a) (1.25 puntos) Una primitiva de la función $f$ que en 0 valga 1.** Para encontrar una primitiva $F(x)$, calculamos la integral indefinida de la función $f(x)$: $$F(x) = \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx$$ Observamos que el numerador es casi la derivada del denominador, ya que $(x^2+1)' = 2x$. Podemos ajustar la integral multiplicando y dividiendo por 2 para obtener una integral de tipo logarítmico: $$F(x) = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$$ Como la integral es de la forma $\int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln|u(x)| + C$, tenemos: $$F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C$$ *(Nota: No es necesario el valor absoluto puesto que $x^2 + 1 > 0$ para cualquier valor de $x$ real).* 💡 **Tip:** Recuerda que las integrales de tipo $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$ dan como resultado $\ln|f(x)| + C$. $$\boxed{F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C}$$

Para hallar la primitiva específica que cumple la condición $F(0) = 1$, sustituimos $x=0$ en la expresión hallada e igualamos a 1: $$F(0) = \frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) + C = 1$$ $$\frac{1}{2} \ln(1) + C = 1$$ Sabiendo que $\ln(1) = 0$: $$0 + C = 1 \implies C = 1$$ Por tanto, la primitiva buscada es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + 1}$$

**(b) (1.25 puntos) Calcular el área encerrada entre la gráfica de $f$, el eje $X$ y las rectas $x = -1$ y $x = 1$.** El área $A$ se define como la integral del valor absoluto de la función en el intervalo $[-1, 1]$: $$A = \int_{-1}^{1} |f(x)| \, dx = \int_{-1}^{1} \left| \frac{x}{x^2 + 1} \right| \, dx$$ Analizamos el signo de $f(x)$ en el intervalo: - El denominador $x^2+1$ siempre es positivo. - El numerador $x$ es negativo en $[-1, 0)$ y positivo en $(0, 1]$. Además, la función es impar, ya que $f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+1} = -f(x)$. Esto significa que la gráfica es simétrica respecto al origen y el área encerrada a la izquierda del eje $Y$ es igual a la de la derecha. Por simetría: $$A = 2 \cdot \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que una función sea impar y el intervalo de integración sea simétrico respecto al origen ($[-a, a]$), el área es el doble de la integral en la parte positiva.

Aplicamos la Regla de Barrow utilizando la primitiva calculada en el apartado anterior (sin la constante $C$): $$A = 2 \cdot \left[ \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \right]_{0}^{1} = \left[ \ln(x^2 + 1) \right]_{0}^{1}$$ Evaluamos en los límites de integración: $$A = \ln(1^2 + 1) - \ln(0^2 + 1)$$ $$A = \ln(2) - \ln(1)$$ $$A = \ln(2) - 0 = \ln(2)$$ El valor aproximado es $A \approx 0.693$ unidades de área. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \ln(2) \text{ u}^2}$$