Estudio del volumen de agua en un depósito mediante funciones trigonométricas

**(a) (1 punto) Calcular los máximos y mínimos de la función.** Para facilitar el cálculo de los extremos, podemos simplificar la función utilizando la identidad trigonométrica $\cos(t + \pi/2) = -\sin(t)$. $$f(t) = -2\sin(t) + 10, \quad t \in [0, 4]$$ Calculamos la primera derivada $f'(t)$ para hallar los puntos críticos: $$f'(t) = \frac{d}{dt}(-2\sin(t) + 10) = -2\cos(t)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\cos(u)$ es $-\sin(u) \cdot u'$ y la de $\sin(u)$ es $\cos(u) \cdot u'$. Usar la identidad trigonométrica simplifica mucho los cálculos posteriores.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos en el intervalo $(0, 4)$: $$f'(t) = 0 \implies -2\cos(t) = 0 \implies \cos(t) = 0$$ En el intervalo $[0, 4]$, el único valor para el cual el coseno es cero es: $$t = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \text{ horas}$$ Para clasificar los extremos, calculamos la segunda derivada: $$f''(t) = \frac{d}{dt}(-2\cos(t)) = 2\sin(t)$$ Evaluamos en el punto crítico: $$f''(\pi/2) = 2\sin(\pi/2) = 2(1) = 2 > 0$$ Al ser la segunda derivada positiva, tenemos un **mínimo relativo** en $t = \pi/2$.

Para determinar los máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado $[0, 4]$, debemos comparar el valor de la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo: 1. En $t = 0$: $f(0) = -2\sin(0) + 10 = 10$ 2. En $t = \pi/2$: $f(\pi/2) = -2\sin(\pi/2) + 10 = -2(1) + 10 = 8$ 3. En $t = 4$: $f(4) = -2\sin(4) + 10 \approx -2(-0.7568) + 10 \approx 11.51$ Comparando los valores: - El valor mínimo es $8$ en $t = \pi/2$. - El valor máximo es $\approx 11.51$ en $t = 4$. ✅ **Resultado (extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo absoluto: } (\pi/2, 8), \quad \text{Máximo absoluto: } (4, 11.51)}$$

**(b) (0.75 puntos) Demostrar que el depósito no se vacía nunca.** El depósito se vaciaría si existiera algún instante $t$ tal que $f(t) \le 0$. Sabemos que el rango de la función $\cos(x)$ o $\sin(x)$ es siempre $[-1, 1]$. Analizando la función $f(t) = 2 \cos(t + \pi/2) + 10$: - El valor mínimo que puede alcanzar el término $2 \cos(t + \pi/2)$ es $2 \cdot (-1) = -2$. - Por lo tanto, el valor mínimo absoluto de la función es $f_{min} = -2 + 10 = 8$. Como el valor mínimo de agua en el depósito es de $8$ unidades (que es estrictamente mayor que $0$), queda demostrado que el depósito no se vacía nunca. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(t) \ge 8 > 0 \text{ para todo } t \in [0, 4]}$$

**(c) (0.75 puntos) Deducir durante cuánto tiempo el depósito está aumentando el volumen de agua durante esas 4 horas.** El volumen aumenta cuando la función es creciente, es decir, cuando $f'(t) \gt 0$. Habíamos calculado $f'(t) = -2\cos(t)$. Estudiamos su signo en el intervalo $[0, 4]$: $$\begin{array}{c|ccc} t & [0, \pi/2) & \pi/2 & (\pi/2, 4]\\ \hline \cos(t) & + & 0 & -\\ \hline f'(t) = -2\cos(t) & - & 0 & + \end{array}$$ - En el intervalo $[0, \pi/2)$, $f'(t) \lt 0$, por lo que el volumen disminuye. - En el intervalo $(\pi/2, 4]$, $f'(t) \gt 0$, por lo que el volumen aumenta. El tiempo durante el cual aumenta es la longitud del intervalo donde la derivada es positiva: $$\text{Tiempo} = 4 - \frac{\pi}{2}$$ Realizando el cálculo numérico: $$\text{Tiempo} \approx 4 - 1.5708 = 2.4292 \text{ horas}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Aumenta durante } 4 - \frac{\pi}{2} \approx 2.43 \text{ horas}}$$