Propiedades de los determinantes

**(a) (1 punto) Supongamos que la matriz $M$ tiene 2 filas y 2 columnas, y que $M^2 = (x - 1)I$, siendo $I$ la matriz identidad. Calcule todos los valores de $x \in \mathbb{R}$.** Partimos de la igualdad matricial $M^2 = (x - 1)I$. Aplicamos el determinante a ambos miembros de la ecuación: $$\det(M^2) = \det((x - 1)I)$$ Para resolver esto, aplicamos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. El determinante del producto es el producto de los determinantes: $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$. Por tanto, $\det(M^2) = (\det(M))^2$. 2. Para una matriz de orden $n$, $\det(k \cdot A) = k^n \det(A)$. En este caso, $M$ es de orden $n=2$ y $k = (x-1)$. Sustituyendo los datos del enunciado ($\det(M) = x$): - $\det(M^2) = x^2$ - $\det((x - 1)I) = (x - 1)^2 \det(I) = (x - 1)^2 \cdot 1 = (x - 1)^2$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar un escalar fuera del determinante, este sale elevado al orden de la matriz.

Igualamos ambas expresiones obtenidas en el paso anterior: $$x^2 = (x - 1)^2$$ Desarrollamos el binomio al cuadrado: $$x^2 = x^2 - 2x + 1$$ Simplificamos los términos en $x^2$ en ambos lados: $$0 = -2x + 1$$ $$2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \frac{1}{2}}$$

**(b) (0.75 puntos) Supongamos ahora que la matriz $M$ tiene 3 filas y 3 columnas. Estudiar si existe algún valor de $x$ para el que pueda ser $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & x \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$** Primero calculamos el determinante de la matriz $M$ explícita mediante la regla de Sarrus: $$\det(M) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & x \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\det(M) = [2 \cdot (-1) \cdot 0 + 1 \cdot x \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \cdot (-1)] - [1 \cdot (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot x \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \cdot 0]$$ $$\det(M) = [0 - x + 0] - [1 - 2x + 0]$$ $$\det(M) = -x - 1 + 2x = x - 1$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al aplicar Sarrus, especialmente en los términos de la diagonal secundaria.

El enunciado establece que $\det(M) = x$. Igualamos este valor con el resultado obtenido en el paso anterior: $$x - 1 = x$$ Restamos $x$ en ambos lados: $$-1 = 0$$ Llegamos a una contradicción matemática. Esto significa que no existe ningún número real $x$ que satisfaga simultáneamente la definición de la matriz y la condición de su determinante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } x}$$

**(c) (0.75 puntos) Supongamos ahora que el tamaño de $M$ es $3 \times 3$, que $x \neq 0$ y que $M = xM^2$. Calcula los posibles valores de $x$ y $\det(M^{-1})$ para cada uno de ellos.** Aplicamos la propiedad del determinante a la ecuación $M = xM^2$. Como $M$ es una matriz de orden $3$: $$\det(M) = \det(xM^2)$$ $$x = x^3 \det(M^2)$$ $$x = x^3 (\det(M))^2$$ $$x = x^3 \cdot x^2 = x^5$$ 💡 **Tip:** Aquí aplicamos de nuevo $\det(k A) = k^n \det(A)$ con $n=3$, por lo que el escalar $x$ sale como $x^3$.

Resolvemos la ecuación $x^5 = x$. Como el enunciado indica que $x \neq 0$, podemos dividir entre $x$: $$x^4 = 1 \implies x^4 - 1 = 0 \implies (x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$$ Las soluciones reales son $x^2 = 1$, es decir, **$x = 1$** y **$x = -1$**. Ahora, calculamos $\det(M^{-1})$ usando la propiedad $\det(M^{-1}) = \frac{1}{\det(M)} = \frac{1}{x}$: 1. Si **$x = 1$**: $$\det(M^{-1}) = \frac{1}{1} = 1$$ 2. Si **$x = -1$**: $$\det(M^{-1}) = \frac{1}{-1} = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 1, \det(M^{-1}) = 1 \quad \text{y} \quad x = -1, \det(M^{-1}) = -1}$$