Discusión y resolución de sistemas con parámetros

**(a) (0.75 puntos) Encuentre todos los valores de $a$ para los cuales el sistema de ecuaciones homogéneo $AX = [0]$ tiene infinitas soluciones. ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el sistema no tenga solución? Razone sus respuestas.** Un sistema de ecuaciones lineal homogéneo $AX = 0$ es siempre compatible (siempre tiene al menos la solución trivial $x=y=z=0$). Para que tenga **infinitas soluciones** (sistema compatible indeterminado), el determinante de la matriz de coeficientes $A$ debe ser igual a cero, de modo que el rango sea menor que el número de incógnitas ($n=3$). Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & a \\ -3 & 2 & 2 \\ -5 & 4 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 2 \cdot 2) + (-1 \cdot 2 \cdot -5) + (a \cdot -3 \cdot 4) - [(-5 \cdot 2 \cdot a) + (4 \cdot 2 \cdot 1) + (2 \cdot -3 \cdot -1)]$$ $$|A| = (4 + 10 - 12a) - (-10a + 8 + 6)$$ $$|A| = 14 - 12a - (-10a + 14) = 14 - 12a + 10a - 14 = -2a$$ Para que el sistema tenga infinitas soluciones: $$-2a = 0 \implies a = 0$$ 💡 **Tip:** En un sistema homogéneo, si $|A| \neq 0$ la única solución es la trivial (SCD). Si $|A| = 0$, el sistema es SCI (infinitas soluciones). ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0}$$

Respecto a la pregunta de si existe algún valor de $a$ para el cual el sistema no tenga solución: Un sistema homogéneo $AX = 0$ siempre es **compatible**. Esto se debe a que la solución trivial $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ siempre satisface todas las ecuaciones, independientemente de los coeficientes. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, en un sistema homogéneo el rango de la matriz de coeficientes $A$ y el de la matriz ampliada $A^*$ siempre coinciden ($Rg(A) = Rg(A^*)$), por lo que nunca puede ser incompatible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } a \text{ para el cual el sistema no tenga solución.}}$$

**(b) (0.75 punto) Suponiendo que $A$ es la matriz ampliada de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas. Calcule los valores de $a$ para los cuales el sistema tiene solución.** Si $A$ es la matriz ampliada, las dos primeras columnas corresponden a los coeficientes de las incógnitas (llamémoslas $x$ e $y$) y la tercera columna a los términos independientes. Sea $A'$ la matriz de coeficientes: $$A' = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 2 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}, \quad A = (A'|B) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ -3 & 2 & 2 \\ -5 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$ Para que el sistema tenga solución, se debe cumplir $Rg(A') = Rg(A)$. 1. Calculamos el rango de $A'$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1 \neq 0 \implies Rg(A') = 2.$$ 2. Para que $Rg(A) = 2$, el determinante de la matriz $3 \times 3$ debe ser cero (ya que si fuera distinto de cero, el rango sería 3). Como calculamos en el apartado anterior: $|A| = -2a$. $$-2a = 0 \implies a = 0.$$ Si $a=0$, $Rg(A') = Rg(A) = 2 = \text{nº incógnitas}$, el sistema es Compatible Determinado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0}$$

**(c) (1 punto) Resuelva el sistema homogéneo de apartado (a), para el valor de $a = 0$.** Para $a = 0$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 2 \\ -5 & 4 & 2 \end{pmatrix}$. El sistema es: $$\begin{cases} x - y = 0 \\ -3x + 2y + 2z = 0 \\ -5x + 4y + 2z = 0 \end{cases}$$ Sabemos que $Rg(A) = 2$, por lo que una ecuación es redundante (la tercera es combinación de las otras). Usamos las dos primeras: 1) $x - y = 0 \implies x = y$ 2) Sustituimos $x = y$ en la segunda: $-3(y) + 2y + 2z = 0 \implies -y + 2z = 0 \implies y = 2z$ Como $x = y$ y $y = 2z$, tenemos $x = 2z$. Expresamos la solución en función de un parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$ haciendo $z = \lambda$: $$x = 2\lambda$$ $$y = 2\lambda$$ $$z = \lambda$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas indeterminados, siempre asigna una de las variables como un parámetro (usualmente $\lambda, \mu, \dots$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (2\lambda, 2\lambda, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$