Distribución Normal: Tiempos de resolución en telecomunicaciones

**(a) (0.75 puntos) ¿Cual es la probabilidad de que un cliente tarde entre 25 y 30 minutos en resolver su problema?** Definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo (en minutos) que tarda un cliente en resolver un problema. Según el enunciado: $$X \sim N(30, 5)$$ Queremos calcular la probabilidad $P(25 \le X \le 30)$. Para ello, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Realizamos la transformación para los valores 25 y 30: $$P(25 \le X \le 30) = P\left(\frac{25 - 30}{5} \le Z \le \frac{30 - 30}{5}\right) = P(-1 \le Z \le 0)$$ 💡 **Tip:** Tipificar permite usar las tablas de la normal estándar, que siempre están centradas en 0 con desviación 1.

Para calcular $P(-1 \le Z \le 0)$, usamos las propiedades de simetría de la distribución normal: $$P(-1 \le Z \le 0) = P(Z \le 0) - P(Z \le -1)$$ Sabemos que $P(Z \le 0) = 0.5$. Para $P(Z \le -1)$, aplicamos la propiedad del complementario: $$P(Z \le -1) = P(Z \ge 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Buscamos el valor para $z = 1$ en la tabla de la normal estándar: $$P(Z \le 1) = 0.8413$$ Sustituimos: $$P(25 \le X \le 30) = 0.5 - (1 - 0.8413) = 0.5 - 0.1587 = 0.3413$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(25 \le X \le 30) = 0.3413}$$

**(b) (0.75 puntos) Un cliente decide que si tarda más de 20 minutos en su resolución, cambiará de empresa ¿cuál es la probabilidad de que cambie?** El cliente cambia de empresa si $X \gt 20$. Calculamos esta probabilidad tipificando de nuevo: $$P(X \gt 20) = P\left(Z \gt \frac{20 - 30}{5}\right) = P(Z \gt -2)$$ Por simetría: $$P(Z \gt -2) = P(Z \le 2)$$ Buscamos en la tabla de la distribución normal el valor para $z = 2$: $$P(Z \le 2) = 0.9772$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z > -a) = P(Z < a)$ debido a la forma acampanada y simétrica de la campana de Gauss. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 20) = 0.9772}$$

**(c) (1 punto) La empresa hace cambios en la gestión de atención al cliente obteniendo que la probabilidad de que se tarde menos de 20 minutos es 0.7. Si se mantiene la desviación típica ¿se ha mejorado el tiempo de resolucion medio o por el contrario el cambio no ha sido positivo?** En la nueva situación tenemos una media desconocida $\mu'$ y mantenemos $\sigma = 5$. Se nos indica que: $$P(X \lt 20) = 0.7$$ Tipificamos la expresión: $$P\left(Z \lt \frac{20 - \mu'}{5}\right) = 0.7$$ Buscamos en el interior de la tabla de la normal el valor de probabilidad más cercano a $0.7$. El valor $0.6985$ corresponde a $z = 0.52$ y $0.7019$ a $z = 0.53$. Utilizaremos una aproximación más precisa o el valor más cercano, por ejemplo $z = 0.524$: $$\frac{20 - \mu'}{5} = 0.524$$ Despejamos la nueva media $\mu'$: $$20 - \mu' = 0.524 \cdot 5$$ $$20 - \mu' = 2.62$$ $$\mu' = 20 - 2.62 = 17.38 \text{ minutos}$$ **Conclusión:** Como la media original era $\mu = 30$ minutos y la nueva es $\mu' = 17.38$ minutos, el tiempo medio ha disminuido considerablemente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, se ha mejorado el tiempo de resolución medio pues } 17.38 < 30}$$