Probabilidad y Estadística 2025 Asturias
Control de calidad: Binomial y Teorema de la Probabilidad Total
En una fábrica de componentes electrónicos se sabe que el $6\%$ de las piezas que se fabrican son defectuosas. En el proceso de control de calidad se toma una pieza al azar y se introduce en un sistema de prueba/fallo. Se sabe que la probabilidad de que el sistema de fallo si la pieza es defectuosa es del $95\%$ mientras que la probabilidad de que lo haga si la pieza no es defectuosa es del $4\%$.
(a) **(1.25 puntos)** Si se seleccionan 10 piezas al azar ¿cuál la probabilidad de que al menos una de ellas sea defectuosa?
(b) **(1.25 puntos)** Determinar la probabilidad de que si se selecciona una pieza al azar, la prueba no indique fallo.
Paso 1
Modelizar la situación mediante una distribución Binomial
**(a) (1.25 puntos) Si se seleccionan 10 piezas al azar ¿cuál la probabilidad de que al menos una de ellas sea defectuosa?**
Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de piezas defectuosas en una muestra de $n = 10$ piezas.
Sabemos que la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es $p = 6\% = 0,06$. Como las piezas se seleccionan al azar e independientemente, $X$ sigue una distribución binomial:
$$X \sim B(10, \, 0,06)$$
Nos piden calcular la probabilidad de que **al menos una** sea defectuosa, es decir, $P(X \ge 1)$.
💡 **Tip:** Calcular $P(X \ge 1)$ directamente implicaría sumar $P(X=1) + P(X=2) + \dots + P(X=10)$. Es mucho más rápido usar el suceso contrario:
$$P(X \ge 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0)$$
La fórmula de la probabilidad binomial es $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
Paso 2
Calcular la probabilidad del suceso contrario
Calculamos la probabilidad de que ninguna pieza sea defectuosa ($X=0$):
$$P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot (0,06)^0 \cdot (1 - 0,06)^{10-0}$$
Como $\binom{10}{0} = 1$ y $(0,06)^0 = 1$:
$$P(X=0) = 0,94^{10}$$
$$P(X=0) \approx 0,5386$$
Ahora, restamos este valor de 1 para obtener la probabilidad solicitada:
$$P(X \ge 1) = 1 - 0,5386 = 0,4614$$
✅ **Resultado (a):**
$$\boxed{P(X \ge 1) = 0,4614}$$
Paso 3
Definir eventos y construir el árbol de probabilidad
**(b) (1.25 puntos) Determinar la probabilidad de que si se selecciona una pieza al azar, la prueba no indique fallo.**
Primero definimos los sucesos para la selección de una pieza y el resultado del test:
- $D$: La pieza es defectuosa ($P(D) = 0,06$).
- $\bar{D}$: La pieza no es defectuosa ($P(\bar{D}) = 1 - 0,06 = 0,94$).
- $F$: El sistema indica fallo.
- $\bar{F}$: El sistema no indica fallo.
Datos del enunciado sobre el test:
- $P(F|D) = 0,95 \implies P(\bar{F}|D) = 1 - 0,95 = 0,05$
- $P(F|\bar{D}) = 0,04 \implies P(\bar{F}|\bar{D}) = 1 - 0,04 = 0,96$
Presentamos el árbol de probabilidades:
Paso 4
Aplicar el Teorema de la Probabilidad Total
Para hallar la probabilidad de que la prueba no indique fallo, $P(\bar{F})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total** sumando las ramas que terminan en el suceso $\bar{F}$:
$$P(\bar{F}) = P(D) \cdot P(\bar{F}|D) + P(\bar{D}) \cdot P(\bar{F}|\bar{D})$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(\bar{F}) = (0,06 \cdot 0,05) + (0,94 \cdot 0,96)$$
$$P(\bar{F}) = 0,003 + 0,9024$$
$$P(\bar{F}) = 0,9054$$
💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un evento final a partir de las probabilidades de los sucesos intermedios (las causas).
✅ **Resultado (b):**
$$\boxed{P(\bar{F}) = 0,9054}$$