Geometría en el espacio: Coplanaridad, Áreas y Volúmenes

**(a) (1 punto) Estudia si los puntos pertenecen a un mismo plano.** Cuatro puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ son coplanarios (pertenecen al mismo plano) si los vectores formados a partir de ellos son linealmente dependientes. En este caso, construiremos tres vectores con origen común en $A$: $$\vec{AB} = B - A = (-2 - 1, 1 - 2, 4 - 3) = (-3, -1, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (3 - 1, 0 - 2, 5 - 3) = (2, -2, 2)$$ $$\vec{AD} = D - A = (0 - 1, -1 - 2, 2 - 3) = (-1, -3, -1)$$ 💡 **Tip:** Si el determinante formado por estos tres vectores es igual a cero, los vectores son linealmente dependientes y los puntos están en el mismo plano. Si es distinto de cero, forman un volumen y no son coplanarios.

Calculamos el determinante de la matriz formada por los componentes de los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ mediante la regla de Sarrus: $$\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -3 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ -1 & -3 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\det = [(-3)(-2)(-1) + (-1)(2)(-1) + (1)(2)(-3)] - [(1)(-2)(-1) + (-3)(2)(-3) + (-1)(2)(-1)]$$ $$\det = [-6 + 2 - 6] - [2 + 18 + 2]$$ $$\det = -10 - 22 = -32$$ Como el determinante es **$-32 \neq 0$**, los vectores son linealmente independientes.

Dado que el rango de la matriz formada por los vectores es 3, los puntos no pertenecen al mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los puntos A, B, C y D no son coplanarios}}$$

**(b) (0.75 puntos) Calcula el area del triángulo de vértices A, B y C.** El área de un triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ se calcula como la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Primero, calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante con los vectores unitarios $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$\vec{i} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix}$$ $$= \vec{i}(-2 - (-2)) - \vec{j}(-6 - 2) + \vec{k}(6 - (-2))$$ $$= 0\vec{i} + 8\vec{j} + 8\vec{k} = (0, 8, 8)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial genera un vector perpendicular al plano que contiene a los dos vectores originales.

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 8^2 + 8^2} = \sqrt{0 + 64 + 64} = \sqrt{128}$$ $$\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$$ Finalmente, el área es: $$\text{Área} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \text{ u}^2}$$

**(c) (0.75 puntos) Calcula el volumen del tetraedro formado por los 4 puntos.** El volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que concurren en un vértice: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$$ En el apartado (a), ya hemos calculado el determinante de estos tres vectores: $$\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = -32$$ Por lo tanto, aplicamos la fórmula del volumen: $$V = \frac{1}{6} | -32 | = \frac{32}{6}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 2: $$V = \frac{16}{3} \text{ unidades}^3$$ 💡 **Tip:** El volumen de un tetraedro es siempre $1/6$ del volumen del paralelepípedo definido por los mismos vectores. Por eso se divide el producto mixto entre 6. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = \frac{16}{3} \approx 5.33 \text{ u}^3}$$