Geometría en el espacio 2025 Asturias
Posición relativa de rectas y perpendicular común
Para resolver este problema de geometría analítica en el espacio, seguiremos los pasos correspondientes para cada apartado.
### Apartado (a): Estudiar la posición relativa de los puentes
Los puentes están representados por las rectas $r_1$ y $r_2$. Primero identificamos un punto y un vector director para cada una:
* **Recta $r_1(t)$:**
* Punto $P_1 = (2, -1, 3)$
* Vector director $\vec{v}_1 = (1, -2, 2)$
* **Recta $r_2(s)$:**
* Punto $P_2 = (1, 4, 4)$
* Vector director $\vec{v}_2 = (2, -1, -2)$
**1. ¿Son paralelas o coincidentes?**
Comparamos los vectores directores para ver si son proporcionales:
$\frac{1}{2} \neq \frac{-2}{-1} \Rightarrow$ Los vectores no son proporcionales, por lo que las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Las rectas o se cortan o se cruzan.
**2. ¿Se cortan o se cruzan?**
Calculamos el vector que une un punto de cada recta: $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (1-2, 4-(-1), 4-3) = (-1, 5, 1)$.
Para saber si están en el mismo plano (se cortan) o no (se cruzan), calculamos el determinante formado por los tres vectores ($\vec{P_1P_2}, \vec{v}_1, \vec{v}_2$):
$$\text{det}(\vec{P_1P_2}, \vec{v}_1, \vec{v}_2) = \begin{vmatrix} -1 & 5 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix}$$
$$= -1[(-2)(-2) - 2(-1)] - 5[1(-2) - 2(2)] + 1[1(-1) - (-2)(2)]$$
$$= -1(4 + 2) - 5(-2 - 4) + 1(-1 + 4) = -6 + 30 + 3 = 27$$
Como el determinante es distinto de cero ($27 \neq 0$), los vectores son linealmente independientes. Por lo tanto, **las rectas se cruzan** en el espacio.
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### Apartado (b): Longitud y puntos de la vía de servicio
La vía de servicio más corta es el segmento de la **perpendicular común** a ambas rectas. Buscamos un punto $A$ en $r_1$ y un punto $B$ en $r_2$ tales que el vector $\vec{AB}$ sea perpendicular a $\vec{v}_1$ y a $\vec{v}_2$.
Sean los puntos genéricos:
$A(t) = (2+t, -1-2t, 3+2t)$
$B(s) = (1+2s, 4-s, 4-2s)$
El vector $\vec{AB}$ es:
$\vec{AB} = B(s) - A(t) = (1+2s - (2+t), 4-s - (-1-2t), 4-2s - (3+2t)) = (2s - t - 1, -s + 2t + 5, -2s - 2t + 1)$
Imponemos las condiciones de perpendicularidad (producto escalar nulo):
1. $\vec{AB} \cdot \vec{v}_1 = 0 \Rightarrow (2s-t-1)(1) + (-s+2t+5)(-2) + (-2s-2t+1)(2) = 0$
$2s - t - 1 + 2s - 4t - 10 - 4s - 4t + 2 = 0 \Rightarrow \mathbf{-9t - 9 = 0 \Rightarrow t = -1}$
2. $\vec{AB} \cdot \vec{v}_2 = 0 \Rightarrow (2s-t-1)(2) + (-s+2t+5)(-1) + (-2s-2t+1)(-2) = 0$
$4s - 2t - 2 + s - 2t - 5 + 4s + 4t - 2 = 0 \Rightarrow \mathbf{9s - 9 = 0 \Rightarrow s = 1}$
**Puntos de inicio y final:**
* **Inicio (en $r_1$, con $t = -1$):** $A = (2-1, -1-2(-1), 3+2(-1)) = \mathbf{(1, 1, 1)}$
* **Final (en $r_2$, con $s = 1$):** $B = (1+2(1), 4-1, 4-2(1)) = \mathbf{(3, 3, 2)}$
**Longitud de la vía de servicio:**
Es la distancia entre los puntos $A$ y $B$:
$$d(A, B) = \sqrt{(3-1)^2 + (3-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = \mathbf{3 \text{ unidades}}$$
Paso 1
Identificar elementos de las rectas
**(a) [Puntuación] Estudiar la posición relativa de los puentes.**
Primero, extraemos la información de las rectas $r_1$ y $r_2$ a partir de sus ecuaciones paramétricas implícitas en el enunciado.
Para $r_1(t)$:
- Punto: $P_1 = (2, -1, 3)$
- Vector director: $\vec{v}_1 = (1, -2, 2)$
Para $r_2(s)$:
- Punto: $P_2 = (1, 4, 4)$
- Vector director: $\vec{v}_2 = (2, -1, -2)$
💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación paramétrica de una recta $(x, y, z) = (x_0 + t a, y_0 + t b, z_0 + t c)$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector director es $(a, b, c)$.
Paso 2
Analizar la dependencia lineal de los vectores directores
Comprobamos si las rectas son paralelas viendo si sus vectores directores son proporcionales:
$$\frac{1}{2} \neq \frac{-2}{-1} \neq \frac{2}{-2}$$
Como los componentes no guardan la misma proporción, los vectores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ son **linealmente independientes**. Por tanto, las rectas no son ni paralelas ni coincidentes.
Paso 3
Estudio del determinante para posición relativa
Para distinguir si las rectas se cortan o se cruzan, analizamos el vector que une un punto de cada recta:
$$\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (1-2, 4-(-1), 4-3) = (-1, 5, 1)$$
Calculamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores $(\vec{P_1P_2}, \vec{v}_1, \vec{v}_2)$. Si el determinante es cero, los vectores son coplanarios (se cortan); si es distinto de cero, se cruzan.
$$\text{det}(\vec{P_1P_2}, \vec{v}_1, \vec{v}_2) = \begin{vmatrix} -1 & 5 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix}$$
Resolvemos por el desarrollo por la primera fila:
$$= -1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}$$
$$= -1(4 + 2) - 5(-2 - 4) + 1(-1 + 4)$$
$$= -1(6) - 5(-6) + 1(3) = -6 + 30 + 3 = 27$$
Como $27 \neq 0$, los vectores son linealmente independientes y las rectas no están en el mismo plano.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Las rectas } r_1 \text{ y } r_2 \text{ se cruzan en el espacio.}}$$
Paso 4
Plantear el vector de la perpendicular común
**(b) [Puntuación] Longitud y puntos de la vía de servicio.**
La vía de servicio más corta corresponde a la **perpendicular común**. Buscamos un punto $A \in r_1$ y $B \in r_2$ tales que el vector $\vec{AB}$ sea perpendicular a los dos vectores directores.
Definimos los puntos en función de sus parámetros:
$A(t) = (2+t, -1-2t, 3+2t)$
$B(s) = (1+2s, 4-s, 4-2s)$
El vector $\vec{AB}$ es:
$$\vec{AB} = B(s) - A(t) = (2s-t-1, -s+2t+5, -2s-2t+1)$$
💡 **Tip:** El método de la perpendicular común se basa en resolver el sistema de ecuaciones que surge al obligar a que el producto escalar del vector unión con los vectores directores sea cero.
Paso 5
Resolver el sistema de perpendicularidad
Aplicamos las condiciones de perpendicularidad:
1. $\vec{AB} \cdot \vec{v}_1 = 0$:
$$(2s-t-1)(1) + (-s+2t+5)(-2) + (-2s-2t+1)(2) = 0$$
$$2s - t - 1 + 2s - 4t - 10 - 4s - 4t + 2 = 0 \implies -9t - 9 = 0 \implies \mathbf{t = -1}$$
2. $\vec{AB} \cdot \vec{v}_2 = 0$:
$$(2s-t-1)(2) + (-s+2t+5)(-1) + (-2s-2t+1)(-2) = 0$$
$$4s - 2t - 2 + s - 2t - 5 + 4s + 4t - 2 = 0 \implies 9s - 9 = 0 \implies \mathbf{s = 1}$$
Sustituyendo los parámetros en los puntos genéricos:
- Para $t = -1$: $A = (2-1, -1-2(-1), 3+2(-1)) = (1, 1, 1)$
- Para $s = 1$: $B = (1+2(1), 4-1, 4-2(1)) = (3, 3, 2)$
✅ **Resultado (Puntos):**
$$\boxed{A = (1, 1, 1), \quad B = (3, 3, 2)}$$
Paso 6
Calcular la longitud de la vía
La longitud es la distancia entre los puntos $A$ y $B$ hallados:
$$d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(3-1)^2 + (3-1)^2 + (2-1)^2}$$
$$d(A, B) = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$$
Para visualizar la situación:
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Longitud} = 3 \text{ unidades}}$$