Área de funciones trigonométricas y relación entre función y primitiva

**(a) (1.5 puntos)** Se considera la función $f(x)=4\operatorname{sen}(x-\pi)$. Calcula el área acotada encerrada por $f$ y las rectas $y=0$, $x=0$ y $x=\pi$. Para calcular el área, primero debemos determinar si la función corta al eje $X$ (es decir, $y=0$) en el interior del intervalo $[0,\pi]$. Resolvemos $f(x)=0$: $$4\operatorname{sen}(x-\pi)=0\ \Rightarrow\ \operatorname{sen}(x-\pi)=0.$$ Esto ocurre cuando el argumento es múltiplo de $\pi$: $$x-\pi=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.$$ En el intervalo $[0,\pi]$: - Si $k=-1$, entonces $x-\pi=-\pi\Rightarrow x=0$. - Si $k=0$, entonces $x-\pi=0\Rightarrow x=\pi$. No hay ceros en el interior $(0,\pi)$, así que la función mantiene el mismo signo. Evaluamos, por ejemplo, en $x=\frac{\pi}{2}$: $$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=4\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-\pi\right)=4\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right)=4(-1)=-4.$$ Luego $f(x)<0$ en $(0,\pi)$. 💡 **Tip:** El área siempre es positiva. Si $f(x)<0$ en $[a,b]$, entonces $\text{Área}=\int_a^b |f(x)|\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx.

Como $f(x)<0$ en $[0,\pi]$, el área es $$A=\int_{0}^{\pi} -f(x)\,dx=\int_{0}^{\pi} -4\operatorname{sen}(x-\pi)\,dx.$$ Calculamos una primitiva. Como $\int \operatorname{sen}(u)\,du=-\cos(u)+C$, se tiene: $$\int -4\operatorname{sen}(x-\pi)\,dx=4\cos(x-\pi).$$ Aplicamos Barrow: $$A=\Bigl[4\cos(x-\pi)\Bigr]_{0}^{\pi}=4\cos(\pi-\pi)-4\cos(0-\pi).$$ Como $\cos(0)=1$ y $\cos(-\pi)=\cos(\pi)=-1$: $$A=4\cdot 1-4\cdot(-1)=8.$$ ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{A=8\ \text{unidades}^2}$$

**(b) (1 punto)** Se considera una función $g(x)$ continua. Sabiendo que una primitiva de $g$ es $f(x)=\operatorname{sen}(x)\cos(x)$, calcula una expresión de $g$. Por definición, si $f$ es una primitiva de $g$, entonces $$g(x)=f'(x).$$ Derivamos $f(x)=\operatorname{sen}(x)\cos(x)$ con la regla del producto: $$f'(x)=(\operatorname{sen}x)'\cos x+\operatorname{sen}x\,(\cos x)'=\cos x\cos x+\operatorname{sen}x(-\operatorname{sen}x).$$ Por tanto, $$g(x)=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x.$$ Usando la identidad del ángulo doble, $\cos(2x)=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x$, queda: ✅ **Resultado:** $$\boxed{g(x)=\cos(2x)}$$ 💡 **Tip:** A veces conviene simplificar antes: $\operatorname{sen}(x)\cos(x)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)$, y entonces $g(x)=\cos(2x)$.