Cálculo de una primitiva y estudio de extremos relativos

**(a) [1,5 puntos] Calcula $F$ sabiendo que $F\left(\frac{1}{2}\right) = 1$.** Dado que $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$, debemos calcular la integral indefinida: $$F(x) = \int f(x) \, dx = \int x \cos(4x^2 - 1) \, dx$$ Observamos que la derivada del argumento del coseno, $(4x^2 - 1)$, es $8x$. En el integrando ya tenemos $x$, por lo que podemos ajustar constantes para obtener una **integral casi inmediata** del tipo $\int g'(x) \cos(g(x)) \, dx = \sin(g(x)) + C$. Multiplicamos y dividimos por 8: $$F(x) = \frac{1}{8} \int 8x \cos(4x^2 - 1) \, dx$$ Integrando directamente: $$F(x) = \frac{1}{8} \sin(4x^2 - 1) + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar funciones compuestas, intentamos buscar la derivada de la función interna dentro de la integral. Si solo falta una constante, podemos añadirla multiplicando y compensar dividiendo fuera.

Para hallar el valor de $C$, utilizamos el dato proporcionado: $F\left(\frac{1}{2}\right) = 1$. Sustituimos $x = \frac{1}{2}$ en la expresión de la primitiva: $$F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} \sin\left(4 \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1\right) + C = 1$$ $$F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} \sin\left(4 \cdot \frac{1}{4} - 1\right) + C = 1$$ $$F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} \sin(1 - 1) + C = 1$$ $$F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} \sin(0) + C = 1$$ Como $\sin(0) = 0$: $$0 + C = 1 \implies C = 1$$ Por lo tanto, la función $F(x)$ es: $$\boxed{F(x) = \frac{1}{8} \sin(4x^2 - 1) + 1}$$ 💡 **Tip:** Una primitiva es una familia de funciones. La condición inicial $F(x_0)=y_0$ nos permite seleccionar la función concreta de esa familia.

**(b) [1 punto] Estudia si $F$ tiene un extremo en $x = \frac{1}{2}$.** Para que una función derivable tenga un extremo relativo (máximo o mínimo) en un punto, la derivada en dicho punto debe ser igual a cero ($F'(x) = 0$). Por definición de primitiva, sabemos que la derivada de $F(x)$ es la función original $f(x)$: $$F'(x) = f(x) = x \cos(4x^2 - 1)$$ Evaluamos la derivada en $x = \frac{1}{2}$: $$F'\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cos\left(4 \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1\right)$$ $$F'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cos(1 - 1) = \frac{1}{2} \cos(0)$$ Como $\cos(0) = 1$: $$F'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** No confundas el valor de la función $F(1/2)$ con el valor de su derivada $F'(1/2)$. Los extremos se buscan donde la derivada es nula.

Como acabamos de calcular: $$F'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \neq 0$$ Para que exista un extremo relativo en un punto de una función derivable, es **condición necesaria** que la primera derivada se anule en dicho punto (punto crítico). Al ser $F'\left(\frac{1}{2}\right) \neq 0$, la función no presenta un punto crítico en ese valor de $x$ y, por consiguiente, no puede tener un máximo ni un mínimo relativo allí. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } F(x) \text{ no tiene un extremo en } x = \frac{1}{2} \text{ porque } F'\left(\frac{1}{2}\right) \neq 0}$$ 💡 **Tip:** En este caso, como $F'\left(\frac{1}{2}\right) \gt 0$, sabemos además que la función es estrictamente creciente en las proximidades de ese punto.