Cálculo de derivadas y extremos relativos

**(a) (1.25 puntos) Calcular $h(1)$ y $h'(1)$.** Para calcular el valor de la función $h$ en $x = 1$, utilizamos la definición dada $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ y sustituimos los valores conocidos para $x = 1$: $$h(1) = \frac{f(1)}{g(1)}$$ Sustituimos $f(1) = 1$ y $g(1) = -1$: $$h(1) = \frac{1}{-1} = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{h(1) = -1}$$

Para hallar $h'(1)$, primero necesitamos la expresión de la derivada de un cociente. La regla del cociente nos dice que: $$h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$ Evaluamos la expresión en $x = 1$ e introducimos los valores del enunciado ($f(1) = 1$, $f'(1) = 2$, $g(1) = -1$, $g'(1) = 2$): $$h'(1) = \frac{f'(1) \cdot g(1) - f(1) \cdot g'(1)}{(g(1))^2} = \frac{(2) \cdot (-1) - (1) \cdot (2)}{(-1)^2}$$ Operamos los términos: $$h'(1) = \frac{-2 - 2}{1} = -4$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{h'(1) = -4}$$

**(b) (1.25 puntos) Sabiendo que $f$ tiene un máximo en $x = 3$ y que $k(x) = (x - 2)^2 f(x)$ tiene un mínimo en ese mismo punto, calcular $f(3)$.** Si una función tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en un punto y es derivable en él, su primera derivada debe ser igual a cero en dicho punto. 1. Para la función $f(x)$, al tener un máximo en $x = 3$, se cumple: $$f'(3) = 0$$ 2. Para la función $k(x)$, al tener un mínimo en $x = 3$, se cumple: $$k'(3) = 0$$ 💡 **Tip:** La anulación de la derivada primera ($f'(c)=0$) es una condición necesaria para la existencia de un extremo relativo en funciones derivables.

La función $k(x)$ es el producto de dos funciones: $u(x) = (x-2)^2$ y $v(x) = f(x)$. Aplicamos la regla del producto: $$k'(x) = [ (x-2)^2 ]' \cdot f(x) + (x-2)^2 \cdot f'(x)$$ Calculamos la derivada de $(x-2)^2$ usando la regla de la cadena (o identidad notable): $$[ (x-2)^2 ]' = 2(x-2) \cdot 1 = 2(x-2)$$ Por lo tanto, la expresión de la derivada es: $$k'(x) = 2(x-2)f(x) + (x-2)^2 f'(x)$$ 💡 **Tip:** La regla del producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Evaluamos $k'(x)$ en $x = 3$ e igualamos a cero según la condición de extremo relativo hallada anteriormente: $$k'(3) = 2(3-2)f(3) + (3-2)^2 f'(3) = 0$$ $$2(1)f(3) + (1)^2 f'(3) = 0$$ $$2f(3) + f'(3) = 0$$ Como sabemos del paso 3 que $f'(3) = 0$ (porque $f$ tiene un máximo en ese punto), sustituimos este valor en la ecuación: $$2f(3) + 0 = 0$$ $$2f(3) = 0$$ $$f(3) = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(3) = 0}$$