Estudio de continuidad, crecimiento y optimización en contexto biológico

**(a) Estudie la continuidad de la función en su dominio $[0, \infty)$.** Para estudiar la continuidad de la función definida a trozos, analizamos la continuidad en el interior de los intervalos y en el punto de salto $x = 4$: 1. **En el intervalo $(0, 4)$**: La función es $f(x) = \frac{x}{2}$, que es una función lineal (polinomio de grado 1) y, por tanto, continua. 2. **En el intervalo $(4, \infty)$**: La función es $f(x) = 3 - (x - 5)^2$, una función cuadrática (polinomio de grado 2), que también es continua. 3. **En el punto de salto $x = 4$**: Comprobamos si los límites laterales coinciden con el valor de la función: * Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4} \frac{x}{2} = \frac{4}{2} = 2$. * Límite por la derecha: $\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4} (3 - (x - 5)^2) = 3 - (4 - 5)^2 = 3 - 1 = 2$. * Valor de la función: $f(4) = 3 - (4 - 5)^2 = 2$. Como $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4) = 2$, la función es continua en $x = 4$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $a$ si existe el límite, existe la función y coinciden: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua en todo su dominio } [0, \infty)}$$

**(b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y realice un esbozo de la gráfica.** Primero, calculamos la derivada $f'(x)$ en cada tramo: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \text{si } 0 \lt x \lt 4 \\ -2(x - 5) & \text{si } x \gt 4 \end{cases}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ para determinar el crecimiento: * **Tramo $0 \lt x \lt 4$**: $f'(x) = 0.5 \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. * **Tramo $x \gt 4$**: Igualamos a cero, $-2(x - 5) = 0 \implies x = 5$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0, 4) & 4 & (4, 5) & 5 & (5, +\infty) \\\hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - \\ \text{Función} & \nearrow & \text{cont.} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ * La función crece en el intervalo $[0, 5]$. * La función decrece en el intervalo $[5, \infty)$. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \gt 0$ la función crece y si $f'(x) \lt 0$ decrece. Los puntos donde $f'(x)=0$ son candidatos a extremos relativos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } [0, 5], \text{ Decrecimiento: } [5, \infty)}$$

A partir del estudio de la monotonía, identificamos los extremos: 1. **Máximo relativo (y absoluto)**: En $x = 5$, la función pasa de crecer a decrecer. Calculamos la ordenada: $f(5) = 3 - (5 - 5)^2 = 3$. El punto es **$(5, 3)$**. 2. **Mínimo absoluto**: Al inicio del experimento, $x = 0$. Calculamos la ordenada: $f(0) = \frac{0}{2} = 0$. El punto es **$(0, 0)$**. Para el esbozo, buscamos el corte con el eje $x$ en el segundo tramo: $3 - (x - 5)^2 = 0 \implies (x - 5)^2 = 3 \implies x = 5 \pm \sqrt{3}$. Como $x \gt 4$, tomamos $x = 5 + \sqrt{3} \approx 6.73$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } (5, 3), \text{ Mínimo: } (0, 0)}$$

Representamos la función combinando el tramo recto y el tramo parabólico:

**(c) ¿Se alcanzaría en algún momento el valor de 5 millones de bacterias? Justifique la respuesta.** Para determinar si se alcanzan los 5 millones, debemos comprobar si existe algún $x$ tal que $f(x) = 5$. Basándonos en el estudio de los apartados anteriores: 1. La función es continua en todo su dominio $[0, \infty)$. 2. Hemos determinado que el **máximo absoluto** de la función se alcanza en $x = 5$ horas, y su valor es $f(5) = 3$ millones de bacterias. 3. Dado que el valor más alto que alcanza la población de bacterias es de 3 millones, es imposible que alcance los 5 millones, ya que $3 \lt 5$. 💡 **Tip:** En problemas de contexto, el máximo absoluto marca la cota superior de los valores que puede tomar la variable dependiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, nunca se alcanzarán los 5 millones ya que el valor máximo es 3.}}$$