Invertibilidad y determinantes de matrices con parámetros

**(a) [1 punto] Calcular los valores de $x \in \mathbb{R}$ para los cuáles $B$ tiene inversa.** Para que una matriz cuadrada $B$ sea invertible (tenga inversa), su determinante debe ser distinto de cero ($|B| \neq 0$). Calculamos el determinante de $B$ mediante la regla de Sarrus: $$|B| = \begin{vmatrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & x \end{vmatrix}$$ $$|B| = [(-1) \cdot 1 \cdot x + (-1) \cdot 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot 1] - [(-2) \cdot 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot x]$$ Operamos los productos: $$|B| = [-x - 2 - 2] - [-4 - 1 - x] = (-x - 4) - (-5 - x)$$ Simplificamos la expresión: $$|B| = -x - 4 + 5 + x = 1$$ 💡 **Tip:** Una matriz es invertible si y solo si su determinante es no nulo. En este caso, el determinante es una constante.

Hemos obtenido que $\det(B) = 1$ para cualquier valor de $x \in \mathbb{R}$. Como $1 \neq 0$ siempre, la matriz $B$ es invertible independientemente del valor que tome la variable $x$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } B \text{ tiene inversa para todos los valores de } x \in \mathbb{R}}$$

**(b) [1 punto] Para $x = 0$, calcular, en caso de que sea posible, $B^{-1}$.** Si $x = 0$, la matriz $B$ es: $$B = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Del apartado anterior, sabemos que $|B| = 1$ (ya que el determinante no depende de $x$). Al ser distinto de cero, podemos calcular la inversa usando la fórmula: $$B^{-1} = \frac{1}{|B|} \cdot \text{Adj}(B)^T$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz adjunta $\text{Adj}(B)$ está formada por los cofactores $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$, donde $M_{ij}$ es el menor complementario.

Calculamos los elementos de la matriz de cofactors $\text{Adj}(B)$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1; \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -(-2) = 2; \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(2) = -2; \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 4; \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(-1+2) = -1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1+2 = 1; \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-1+2) = -1; \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1+1 = 0$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ -2 & 4 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Transponemos la matriz adjunta: $$\text{Adj}(B)^T = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Como $|B| = 1$, la inversa es simplemente esta matriz transpuesta: $$B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**(c) [0,5 puntos] Calcular los valores de $x$ para los cuales $\det(AB) = \det(A)$.** Utilizamos la propiedad del determinante del producto de dos matrices cuadradas: $$\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$$ Sustituimos esta propiedad en la ecuación dada: $$\det(A) \cdot \det(B) = \det(A)$$ Sabemos del apartado (a) que $\det(B) = 1$ para cualquier valor de $x \in \mathbb{R}$. Sustituyendo este valor: $$\det(A) \cdot 1 = \det(A)$$ $$ \det(A) = \det(A) $$ 💡 **Tip:** Esta es una identidad. No es necesario calcular $\det(A)$ explícitamente, ya que la igualdad se cumple siempre que los determinantes existan, independientemente del valor de $\det(A)$.

Puesto que la relación $\det(AB) = \det(A)$ se reduce a la identidad $\det(A) = \det(A)$ gracias a que $\det(B) = 1$, la igualdad es cierta para cualquier valor real de $x$. No existen restricciones sobre $x$ en ninguna de las matrices originales, por lo que la condición se satisface en todo el dominio de la variable. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x \in \mathbb{R}}$$