Sistema de ecuaciones: Reparto de presupuesto vacacional en Asturias

**(a) (0.75 puntos) Si decide repartir el presupuesto en 290 € para hospedaje, 290 para alimentación y 225 para gastos varios, plantea un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema y escríbelo matricialmente.** Primero definimos las variables según el enunciado: - $x$: número de días en la zona oriente. - $y$: número de días en la zona centro. - $z$: número de días en la zona occidente. Organizamos los gastos diarios en una tabla para visualizar las ecuaciones: $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Concepto} & \text{Oriente (x)} & \text{Centro (y)} & \text{Occidente (z)} & \text{Total} \\ \hline \text{Hospedaje} & 30 & 40 & 30 & 290 \\ \hline \text{Alimentación} & 25 & 20 & 40 & 290 \\ \hline \text{Otros gastos} & 25 & 25 & 25 & 225 \\ \hline \end{array}$$ Planteamos el sistema de ecuaciones: 1. Gasto en hospedaje: $30x + 40y + 30z = 290$ 2. Gasto en alimentación: $25x + 20y + 40z = 290$ 3. Otros gastos: $25x + 25y + 25z = 225$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones antes de operar facilita los cálculos. Podemos dividir la primera por $10$, la segunda por $5$ y la tercera por $25$. La escritura matricial del sistema $AX = B$ es: $$\boxed{\begin{pmatrix} 30 & 40 & 30 \\ 25 & 20 & 40 \\ 25 & 25 & 25 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 290 \\ 290 \\ 225 \end{pmatrix}}$$

**(b) (1 punto) En la situación del apartado (a) decide cuántos días puede estar en cada zona.** Simplificamos el sistema para resolverlo más cómodamente: (1) $3x + 4y + 3z = 29$ (2) $5x + 4y + 8z = 58$ (3) $x + y + z = 9$ Utilizamos el método de reducción o sustitución. De la ecuación (3) despejamos $x$: $$x = 9 - y - z$$ Sustituimos en (1) y (2): En (1): $3(9 - y - z) + 4y + 3z = 29 \implies 27 - 3y - 3z + 4y + 3z = 29 \implies y = 29 - 27 \implies \mathbf{y = 2}$. En (2) con $y = 2$: $5x + 4(2) + 8z = 58 \implies 5x + 8 + 8z = 58 \implies 5x + 8z = 50$ Como $x + y + z = 9$ y ya sabemos que $y = 2$, entonces $x + 2 + z = 9 \implies x + z = 7 \implies x = 7 - z$. Sustituimos $x$ en la ecuación anterior: $5(7 - z) + 8z = 50 \implies 35 - 5z + 8z = 50 \implies 3z = 15 \implies \mathbf{z = 5}$. Finalmente, calculamos $x$: $x = 7 - 5 \implies \mathbf{x = 2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 2 \text{ días, } y = 2 \text{ días, } z = 5 \text{ días}}$$

**(c) (0.75 puntos) Manteniendo el presupuesto para cada concepto decide cuántos días pasará en cada zona si decide no visitar la zona del oriente, o demuestra que no se puede mantener esa distribución del presupuesto.** Si no visita la zona oriente, entonces **$x = 0$**. El sistema original se convierte en un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas ($y$ y $z$): 1. $40y + 30z = 290 \implies 4y + 3z = 29$ 2. $20y + 40z = 290 \implies 2y + 4z = 29$ 3. $25y + 25z = 225 \implies y + z = 9$ Probamos si existe una solución común. De la ecuación (3) despejamos $y = 9 - z$ y sustituimos en la (1): $4(9 - z) + 3z = 29 \implies 36 - 4z + 3z = 29 \implies -z = -7 \implies \mathbf{z = 7}$. Si $z = 7$, entonces $y = 9 - 7 = 2$. Ahora debemos comprobar si estos valores cumplen la ecuación (2): $2y + 4z = 29 \implies 2(2) + 4(7) = 4 + 28 = 32$. Como $32 \neq 29$, el sistema es **Incompatible (S.I.)**. 💡 **Tip:** En un sistema con más ecuaciones que incógnitas, para que tenga solución, los valores hallados en un subconjunto de ecuaciones deben satisfacer todas las demás. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es posible mantener esa distribución del presupuesto si } x = 0.}$$