Probabilidad condicionada, independencia y operaciones con sucesos

**a) (1 punto) Si $A$ y $B$ fueran independientes, ¿cuánto valdría $P(A \cup B)$?** Si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, se cumplen las siguientes propiedades: 1. $P(A|B) = P(A)$ 2. $P(B|A) = P(B)$ 3. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ A partir de los datos del enunciado y la condición de independencia: $$P(A) = P(A|B) = \frac{2}{3}$$ $$P(B) = P(B|A) = \frac{3}{4}$$ Calculamos la probabilidad de la intersección: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ Ahora, utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cup B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$$ Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores $(3, 4, 2)$, que es $12$: $$P(A \cup B) = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{6}{12} = \frac{11}{12}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la independencia simplifica mucho los cálculos, ya que la probabilidad condicionada coincide con la probabilidad simple del suceso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = \frac{11}{12}}$$

**b) (1,5 puntos) Si $P(A \cup B) = 5/6$, ¿cuáles son las probabilidades $P(A)$, $P(B)$ y $P(A \cup \overline{B})$?** En este apartado ya no suponemos independencia. Usamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \implies P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = \frac{2}{3} P(B)$$ $$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \implies P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = \frac{3}{4} P(A)$$ Igualamos ambas expresiones para obtener la relación entre $P(A)$ y $P(B)$: $$\frac{2}{3} P(B) = \frac{3}{4} P(A) \implies P(B) = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 2} P(A) = \frac{9}{8} P(A)$$ Además, expresamos la intersección en función de $P(A)$: $$P(A \cap B) = \frac{3}{4} P(A)$$

Sustituimos las relaciones obtenidas en la fórmula de la unión $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$: $$\frac{5}{6} = P(A) + \frac{9}{8} P(A) - \frac{3}{4} P(A)$$ Extraemos factor común $P(A)$ y operamos los coeficientes (m.c.m. = 8): $$\frac{5}{6} = P(A) \left( 1 + \frac{9}{8} - \frac{6}{8} \right) = P(A) \left( \frac{8 + 9 - 6}{8} \right) = \frac{11}{8} P(A)$$ Despejamos $P(A)$: $$P(A) = \frac{5}{6} \cdot \frac{8}{11} = \frac{40}{66} = \frac{20}{33}$$ Ahora calculamos $P(B)$: $$P(B) = \frac{9}{8} \cdot \frac{20}{33} = \frac{9 \cdot 5}{2 \cdot 33} = \frac{45}{66} = \frac{15}{22}$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas probabilidades condicionadas cruzadas ($A|B$ y $B|A$), la clave es igualar la intersección $P(A \cap B)$ para relacionar las probabilidades de los sucesos individuales. ✅ **Resultados parciales:** $$\boxed{P(A) = \frac{20}{33}, \quad P(B) = \frac{15}{22}}$$

Para hallar $P(A \cup \overline{B})$, podemos usar la propiedad de la unión: $$P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B})$$ Primero, calculamos los términos necesarios: 1. $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{15}{22} = \frac{7}{22}$ 2. $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$ Calculamos $P(A \cap B)$ usando $P(A)$: $$P(A \cap B) = \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{33} = \frac{15}{33} = \frac{5}{11}$$ Entonces: $P(A \cap \overline{B}) = \frac{20}{33} - \frac{5}{11} = \frac{20}{33} - \frac{15}{33} = \frac{5}{33}$ Sustituimos en la fórmula de la unión: $$P(A \cup \overline{B}) = \frac{20}{33} + \frac{7}{22} - \frac{5}{33} = \frac{15}{33} + \frac{7}{22}$$ Simplificamos $\frac{15}{33} = \frac{5}{11}$ y sumamos: $$P(A \cup \overline{B}) = \frac{5}{11} + \frac{7}{22} = \frac{10}{22} + \frac{7}{22} = \frac{17}{22}$$ **Método alternativo (más rápido):** Utilizando que $P(A \cup \overline{B}) = 1 - P(\overline{A \cup \overline{B}}) = 1 - P(\overline{A} \cap B)$: $$P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{15}{22} - \frac{5}{11} = \frac{15}{22} - \frac{10}{22} = \frac{5}{22}$$ $$P(A \cup \overline{B}) = 1 - \frac{5}{22} = \frac{17}{22}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(A \cup \overline{B}) = \frac{17}{22}}$$