Probabilidad en un juego de tablero

**a) (0,5 puntos) Construye un árbol (o una tabla) que muestre las probabilidades de pasar de una casilla a otra en un turno.** Primero, analizamos las reglas del movimiento según el lanzamiento de la moneda: - Moneda equilibrada: $P(\text{Cara}) = 0,5$ (movimiento a la izquierda) y $P(\text{Cruz}) = 0,5$ (movimiento a la derecha). - Si el movimiento no es posible, la ficha se queda en su lugar. Analizamos cada casilla: 1. **Desde la casilla 1:** A la izquierda (Cara) no puede ir $\to$ se queda en **1**. A la derecha (Cruz) va a **2**. 2. **Desde la casilla 2:** A la izquierda (Cara) va a **1**. A la derecha (Cruz) va a **3**. 3. **Desde la casilla 3:** A la izquierda (Cara) va a **2**. A la derecha (Cruz) no puede ir $\to$ se queda en **3**. Resumimos esto en una tabla de transiciones: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Origen} & \text{Resultado Moneda} & \text{Destino} & \text{Probabilidad} \\\hline \text{Casilla 1} & \text{Cara (Izq)} & \text{Casilla 1} & 0,5 \\\hline \text{Casilla 1} & \text{Cruz (Der)} & \text{Casilla 2} & 0,5 \\\hline \text{Casilla 2} & \text{Cara (Izq)} & \text{Casilla 1} & 0,5 \\\hline \text{Casilla 2} & \text{Cruz (Der)} & \text{Casilla 3} & 0,5 \\\hline \text{Casilla 3} & \text{Cara (Izq)} & \text{Casilla 2} & 0,5 \\\hline \text{Casilla 3} & \text{Cruz (Der)} & \text{Casilla 3} & 0,5 \\\hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** En este tipo de problemas de estados, identificar correctamente qué sucede cuando el movimiento es "imposible" es la clave para definir las probabilidades de permanencia.

**b) (1 punto) Si la ficha se encuentra en la casilla 1, ¿cuál es la probabilidad de que tras tres turnos se encuentre de nuevo en la casilla 1?** Representamos los posibles caminos mediante un diagrama de árbol partiendo de la casilla 1 ($C_1$): Los caminos que terminan en la casilla 1 tras 3 turnos son: 1. $C_1 \xrightarrow{0,5} C_1 \xrightarrow{0,5} C_1 \xrightarrow{0,5} C_1 \implies P = 0,5^3 = 0,125$ 2. $C_1 \xrightarrow{0,5} C_1 \xrightarrow{0,5} C_2 \xrightarrow{0,5} C_1 \implies P = 0,5^3 = 0,125$ 3. $C_1 \xrightarrow{0,5} C_2 \xrightarrow{0,5} C_1 \xrightarrow{0,5} C_1 \implies P = 0,5^3 = 0,125$ Sumamos las probabilidades de estos tres caminos mutuamente excluyentes: $$P(X_3 = C_1 | X_0 = C_1) = 0,125 + 0,125 + 0,125 = 0,375 = \frac{3}{8}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{3}{8} = 0,375}$$

**c) (1 punto) Para comenzar el juego, se procede a un sorteo para ver dónde comienza la ficha. Si la probabilidad de empezar en la casilla 1 es 1/2 y la probabilidad de empezar en la casilla 2 y en la 3 es de 1/4 para cada una, ¿cuál es la probabilidad de que la ficha esté en cada una de las tres casillas dos turnos después de empezar?** Definimos las probabilidades iniciales: $P(C_1^0) = 1/2$, $P(C_2^0) = 1/4$, $P(C_3^0) = 1/4$. Calculamos las probabilidades tras el **primer turno ($t=1$)** usando el teorema de la probabilidad total: - $P(C_1^1) = P(C_1^0) \cdot P(C_1|C_1) + P(C_2^0) \cdot P(C_1|C_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ - $P(C_2^1) = P(C_1^0) \cdot P(C_2|C_1) + P(C_3^0) \cdot P(C_2|C_3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ - $P(C_3^1) = P(C_2^0) \cdot P(C_3|C_2) + P(C_3^0) \cdot P(C_3|C_3) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ Comprobamos: $\frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = 1$. Correcto. 💡 **Tip:** Aunque se puede resolver con matrices de transición, el método paso a paso es más intuitivo.

Ahora calculamos las probabilidades tras el **segundo turno ($t=2$)** a partir de las probabilidades obtenidas en el paso anterior: - **Casilla 1:** $$P(C_1^2) = P(C_1^1) \cdot P(C_1|C_1) + P(C_2^1) \cdot P(C_1|C_2) = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$$ - **Casilla 2:** $$P(C_2^2) = P(C_1^1) \cdot P(C_2|C_1) + P(C_3^1) \cdot P(C_2|C_3) = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{16} + \frac{1}{8} = \frac{3+2}{16} = \frac{5}{16}$$ - **Casilla 3:** $$P(C_3^2) = P(C_2^1) \cdot P(C_3|C_2) + P(C_3^1) \cdot P(C_3|C_3) = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{16} + \frac{1}{8} = \frac{5}{16}$$ Comprobación final: $\frac{6}{16} + \frac{5}{16} + \frac{5}{16} = \frac{16}{16} = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C_1) = \frac{3}{8}; \quad P(C_2) = \frac{5}{16}; \quad P(C_3) = \frac{5}{16}}$$