Cálculo de límites e integración trigonométrica

**3.2 a) (1,25 puntos) Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \text{sen}(x^2)}{1 - \cos(x)}.$$** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ para comprobar si existe alguna indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \text{sen}(x^2)}{1 - \cos(x)} = \frac{0^2 - \text{sen}(0^2)}{1 - \cos(0)} = \frac{0 - 0}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Para resolverla, aplicaremos la **Regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de L'Hôpital se aplica cuando tenemos indeterminaciones de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ y las funciones son derivables en el entorno del punto.

Derivamos el numerador $f(x) = x^2 - \text{sen}(x^2)$ y el denominador $g(x) = 1 - \cos(x)$: - $f'(x) = 2x - \cos(x^2) \cdot 2x = 2x - 2x\cos(x^2)$ - $g'(x) = \text{sen}(x)$ Planteamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{2x - 2x\cos(x^2)}{\text{sen}(x)}$$ Volvemos a evaluar en $x = 0$: $$\frac{2(0) - 2(0)\cos(0)}{\text{sen}(0)} = \frac{0 - 0}{0} = \frac{0}{0}$$ Persiste la indeterminación $\frac{0}{0}$, por lo que aplicamos la **Regla de L'Hôpital por segunda vez**.

Derivamos de nuevo el numerador y el denominador: - Numerador: $(2x - 2x\cos(x^2))' = 2 - [2\cos(x^2) + 2x(-\text{sen}(x^2) \cdot 2x)] = 2 - 2\cos(x^2) + 4x^2\text{sen}(x^2)$ - Denominador: $(\text{sen}(x))' = \cos(x)$ Calculamos el límite resultante: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 - 2\cos(x^2) + 4x^2\text{sen}(x^2)}{\cos(x)}$$ Sustituimos $x = 0$: $$\frac{2 - 2\cos(0) + 4(0)^2\text{sen}(0)}{\cos(0)} = \frac{2 - 2(1) + 0}{1} = \frac{0}{1} = 0$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \text{sen}(x^2)}{1 - \cos(x)} = 0}$$

**b) (1,25 puntos) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función $f(x) = \cos^2(x) \text{sen}(x), x \in [0, \pi]$ y el eje de abscisas.** Para calcular el área, primero comprobamos si la función cambia de signo en el intervalo $[0, \pi]$. Buscamos los puntos de corte con el eje OX ($f(x) = 0$): $$\cos^2(x) \text{sen}(x) = 0 \implies \begin{cases} \cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} \\ \text{sen}(x) = 0 \implies x = 0, \pi \end{cases}$$ Analizamos el signo de $f(x)$ en el intervalo dado: - Para $x \in [0, \pi]$, $\text{sen}(x) \ge 0$. - Como $\cos^2(x)$ siempre es $\ge 0$ por ser una potencia par, la función $f(x) \ge 0$ en todo el intervalo $[0, \pi]$. Por tanto, el área $A$ coincide con la integral definida: $$A = \int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \text{sen}(x) \, dx$$

Buscamos una primitiva de $f(x) = \cos^2(x) \text{sen}(x)$. Observamos que es una integral casi inmediata de tipo potencial, ya que la derivada de $\cos(x)$ es $-\text{sen}(x)$. Si llamamos $u = \cos(x)$, entonces $du = -\text{sen}(x) \, dx$. Ajustamos el signo: $$\int \cos^2(x) \text{sen}(x) \, dx = - \int \cos^2(x) (-\text{sen}(x)) \, dx = -\frac{\cos^3(x)}{3} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de integración $\int [f(x)]^n f'(x) \, dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$. En nuestro caso, $f(x) = \cos(x)$ y $n=2$.

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando la primitiva en los límites de integración $0$ y $\pi$: $$A = \left[ -\frac{\cos^3(x)}{3} \right]_{0}^{\pi} = \left( -\frac{\cos^3(\pi)}{3} \right) - \left( -\frac{\cos^3(0)}{3} \right)$$ Sabemos que $\cos(\pi) = -1$ y $\cos(0) = 1$: $$A = \left( -\frac{(-1)^3}{3} \right) - \left( -\frac{1^3}{3} \right) = \left( -\frac{-1}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{A = \frac{2}{3} \text{ u}^2}$$