Aproximación de funciones e integración por partes

**a) (1,5 puntos) Comprueba que $\text{err}(m) = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} - 2m + \frac{m^2}{3}$ con $m \in \mathbb{R}$.** Sustituimos las funciones $f(x) = e^x$ y $g_m(x) = mx$ en la expresión del error: $$\text{err}(m) = \int_{0}^{1} (e^x - mx)^2 dx.$$ Primero desarrollamos el cuadrado del binomio dentro de la integral: $$(e^x - mx)^2 = (e^x)^2 - 2(e^x)(mx) + (mx)^2 = e^{2x} - 2mxe^x + m^2x^2.$$ Por la propiedad de linealidad de la integral, podemos separar la expresión en tres integrales distintas: $$\text{err}(m) = \int_{0}^{1} e^{2x} dx - 2m \int_{0}^{1} xe^x dx + m^2 \int_{0}^{1} x^2 dx.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. No olvides que las constantes como $m$ y $2m$ pueden salir fuera de la integral.

Calculamos la primera y la tercera integral, que son casi inmediatas: 1. Para $\int_{0}^{1} e^{2x} dx$: $$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} \implies \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_0^1 = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^0 = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}.$$ 2. Para $\int_{0}^{1} x^2 dx$: $$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \implies \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}.$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

Para la segunda integral $\int_{0}^{1} xe^x dx$, aplicamos el método de **integración por partes**: Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^x dx \implies v = e^x$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x = e^x(x - 1).$$ Ahora aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[0, 1]$: $$\int_{0}^{1} xe^x dx = \left[ e^x(x - 1) \right]_0^1 = (e^1(1 - 1)) - (e^0(0 - 1)) = 0 - (1 \cdot (-1)) = 1.$$ 💡 **Tip:** Una regla mnemotécnica útil para elegir $u$ en la integración por partes es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). Aquí el polinomio $x$ va antes que la exponencial $e^x$.

Sustituimos los resultados de las integrales en la expresión original de $\text{err}(m)$: $$\text{err}(m) = \left( \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \right) - 2m(1) + m^2 \left( \frac{1}{3} \right).$$ Ordenando los términos obtenemos la expresión solicitada: $$\text{err}(m) = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} - 2m + \frac{m^2}{3}.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{err}(m) = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} - 2m + \frac{m^2}{3}}$$

**b) (1 punto) ¿Cuál es el valor de $m \in \mathbb{R}$ que minimiza el error? ¿Cuál será el valor mínimo del error?** Para minimizar la función $\text{err}(m)$, calculamos su derivada con respecto a $m$ e igualamos a cero: $$\text{err}'(m) = \frac{d}{dm} \left( \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} - 2m + \frac{m^2}{3} \right) = -2 + \frac{2m}{3}.$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$-2 + \frac{2m}{3} = 0 \implies \frac{2m}{3} = 2 \implies 2m = 6 \implies m = 3.$$ Comprobamos que es un mínimo mediante la segunda derivada: $$\text{err}''(m) = \frac{2}{3} > 0.$$ Como la segunda derivada es positiva, en $m = 3$ hay un **mínimo relativo** (que es también absoluto por ser una parábola cóncava). 💡 **Tip:** En una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ con $a > 0$, el mínimo se encuentra siempre en el vértice, $x = -b/(2a)$.

Sustituimos $m = 3$ en la expresión de $\text{err}(m)$ para hallar el valor del error mínimo: $$\text{err}(3) = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} - 2(3) + \frac{3^2}{3} = \frac{e^2 - 1}{2} - 6 + 3 = \frac{e^2 - 1}{2} - 3.$$ Operamos para obtener una única fracción: $$\text{err}(3) = \frac{e^2 - 1 - 6}{2} = \frac{e^2 - 7}{2}.$$ Aproximadamente, dado que $e^2 \approx 7.389$, el error es $\frac{7.389 - 7}{2} \approx 0.1945$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 3, \quad \text{err}_{min} = \frac{e^2 - 7}{2}}$$