Ecuaciones de la recta y del plano en el espacio

**a) (1 punto) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ que pasa por el punto $P(4, -3, 0)$ y es perpendicular al plano $\pi \equiv x - 2y + z - 1 = 0$.** Si una recta $s$ es perpendicular a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_s$ debe tener la misma dirección que el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. A partir de la ecuación general del plano $\pi \equiv 1x - 2y + 1z - 1 = 0$, extraemos los coeficientes de $x$, $y$ y $z$ para obtener el vector normal: $$\vec{n}_\pi = (1, -2, 1)$$ Por tanto, podemos tomar como vector director de la recta: $$\vec{v}_s = \vec{n}_\pi = (1, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para el plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

Con el punto $P(4, -3, 0)$ y el vector director $\vec{v}_s = (1, -2, 1)$, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $s$: $$\begin{cases} x = x_P + \lambda v_{sx} \\ y = y_P + \lambda v_{sy} \\ z = z_P + \lambda v_{sz} \end{cases} \implies \begin{cases} x = 4 + 1\lambda \\ y = -3 - 2\lambda \\ z = 0 + 1\lambda \end{cases}$$ Simplificando obtenemos el resultado final del apartado a): ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = 4 + \lambda \\ y = -3 - 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}}$$

**b) (1,5 puntos) Halla la ecuación del plano que contiene al punto $Q(1, 2, 3)$ y a la recta $r \equiv \begin{cases} x + y + z = 1, \\ x - 2y = 0. \end{cases}$** Para hallar el plano $\pi'$, necesitamos un punto de la recta $r$ y dos vectores directores del plano. Uno de esos vectores será el vector director de la recta $r$. 1. **Cálculo del vector director $\vec{v}_r$:** La recta $r$ está definida como intersección de dos planos: $$x+y+z=1$$ $$x-2y=0$$ Los vectores normales de estos planos son: $$\vec{n}_1=(1,1,1)$$ $$\vec{n}_2=(1,-2,0)$$ El vector director de la recta $r$ es perpendicular a ambos vectores normales, por tanto se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{v}_r=\vec{n}_1\times \vec{n}_2$$ $$\vec{v}_r=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\vec{v}_r=\mathbf{i}\begin{vmatrix}1&1\\-2&0\end{vmatrix}-\mathbf{j}\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}+\mathbf{k}\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r=\mathbf{i}(1\cdot 0-1\cdot(-2))-\mathbf{j}(1\cdot 0-1\cdot 1)+\mathbf{k}(1\cdot(-2)-1\cdot 1)$$ $$\vec{v}_r=2\mathbf{i}+\mathbf{j}-3\mathbf{k}$$ Por tanto: $$\vec{v}_r=(2,1,-3)$$ 2. **Cálculo de un punto $R$ de la recta:** Tomamos un valor sencillo en el sistema de $r$. Por ejemplo, si $y=0$: $$x-2(0)=0 \implies x=0$$ Sustituimos en la primera ecuación: $$0+0+z=1 \implies z=1$$ Luego un punto de la recta es: $$R(0,0,1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ nos da un vector perpendicular a ambos planos, es decir, un vector con la misma dirección que la recta intersección.

El plano que buscamos contiene al punto $Q(1,2,3)$ y a la recta $r$. Por tanto, podemos usar: - El vector director de la recta: $\vec{u}=\vec{v}_r=(2,1,-3)$. - El vector que une un punto de la recta $R(0,0,1)$ con el punto $Q(1,2,3)$. Calculamos $\vec{RQ}$: $$\vec{RQ}=Q-R=(1-0,2-0,3-1)$$ $$\vec{RQ}=(1,2,2)$$ Así, dos vectores directores del plano son: $$\vec{u}=(2,1,-3)$$ $$\vec{v}=(1,2,2)$$ Y podemos usar como punto del plano: $$R(0,0,1)$$

Para hallar la ecuación general del plano, calculamos un vector normal al plano mediante el producto vectorial de los dos vectores directores: $$\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}$$ $$\vec{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$\vec{n}=\mathbf{i}\begin{vmatrix}1&-3\\2&2\end{vmatrix}-\mathbf{j}\begin{vmatrix}2&-3\\1&2\end{vmatrix}+\mathbf{k}\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}$$ $$\vec{n}=\mathbf{i}(1\cdot2-(-3)\cdot2)-\mathbf{j}(2\cdot2-(-3)\cdot1)+\mathbf{k}(2\cdot2-1\cdot1)$$ $$\vec{n}=8\mathbf{i}-7\mathbf{j}+3\mathbf{k}$$ Por tanto, un vector normal del plano es: $$\vec{n}=(8,-7,3)$$ La ecuación general del plano será: $$8x-7y+3z+D=0$$ Como el plano pasa por $R(0,0,1)$, sustituimos sus coordenadas: $$8\cdot0-7\cdot0+3\cdot1+D=0$$ $$3+D=0$$ $$D=-3$$ Por tanto, la ecuación del plano es: $$8x-7y+3z-3=0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{8x-7y+3z-3=0}$$ Comprobamos que el punto $Q(1,2,3)$ pertenece al plano: $$8\cdot1-7\cdot2+3\cdot3-3=8-14+9-3=0$$ También contiene la recta $r$, porque contiene el punto $R(0,0,1)$ y su vector director $\vec{v}_r=(2,1,-3)$.