Ecuaciones de la recta y del plano en el espacio

**a) (1 punto) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ que pasa por el punto $P(4, -3, 0)$ y es perpendicular al plano $\pi \equiv x - 2y + z - 1 = 0$.** Si una recta $s$ es perpendicular a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_s$ debe tener la misma dirección que el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. A partir de la ecuación general del plano $\pi \equiv 1x - 2y + 1z - 1 = 0$, extraemos los coeficientes de $x$, $y$ y $z$ para obtener el vector normal: $$\vec{n}_\pi = (1, -2, 1)$$ Por tanto, podemos tomar como vector director de la recta: $$\vec{v}_s = \vec{n}_\pi = (1, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para el plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

Con el punto $P(4, -3, 0)$ y el vector director $\vec{v}_s = (1, -2, 1)$, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $s$: $$\begin{cases} x = x_P + \lambda v_{sx} \\ y = y_P + \lambda v_{sy} \\ z = z_P + \lambda v_{sz} \end{cases} \implies \begin{cases} x = 4 + 1\lambda \\ y = -3 - 2\lambda \\ z = 0 + 1\lambda \end{cases}$$ Simplificando obtenemos el resultado final del apartado a): ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = 4 + \lambda \\ y = -3 - 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}}$$

**b) (1,5 puntos) Halla la ecuación del plano que contiene al punto $Q(1, 2, 3)$ y a la recta $r \equiv \begin{cases} x + y + z = 1, \\ x - 2y = 0. \end{cases}$** Para hallar el plano $\pi'$, necesitamos un punto y dos vectores directores (o tres puntos). Obtendremos un punto $R$ y el vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$. 1. **Cálculo del vector director $\vec{v}_r$:** Es el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = [ (1)(0)\mathbf{i} + (1)(1)\mathbf{j} + (1)(-2)\mathbf{k} ] - [ (1)(1)\mathbf{i} + (1)(-2)(0)\mathbf{j} + (1)(-2)\mathbf{k} ]$$ $$\vec{v}_r = (0\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}) - (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 0\mathbf{k}) = (0-1)\mathbf{i} + (1-(-2))\mathbf{j} + (-2-0)\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_r = (-1, 3, -3)$$ *(Nota: Cualquier vector proporcional sirve, usaremos este)*. 2. **Cálculo de un punto $R$ de la recta:** Damos un valor arbitrario a una variable en el sistema de $r$. Si $y = 0$: $$x - 2(0) = 0 \implies x = 0$$ $$0 + 0 + z = 1 \implies z = 1$$ Luego el punto es $R(0, 0, 1)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ siempre nos da un vector perpendicular a ambos, que coincide con la dirección de la intersección de los dos planos (la recta).

El plano que buscamos contiene al punto $Q(1, 2, 3)$ y a la recta $r$. Por tanto, los vectores que generan el plano son: - El vector director de la recta: $\vec{u} = \vec{v}_r = (-1, 3, -3)$. - El vector formado por el punto $Q$ y el punto $R$ de la recta: $\vec{v} = \vec{RQ}$. Calculamos $\vec{RQ}$: $$\vec{RQ} = Q - R = (1 - 0, 2 - 0, 3 - 1) = (1, 2, 2)$$ Ahora tenemos el punto $Q(1, 2, 3)$ y los vectores $\vec{u} = (-1, 3, -3)$ y $\vec{v} = (1, 2, 2)$.

La ecuación del plano viene dada por el determinante nulo de los vectores $\vec{XQ}$, $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x - 1) [ (3)(2) - (-3)(2) ] - (y - 2) [ (-1)(2) - (-3)(1) ] + (z - 3) [ (-1)(2) - (3)(1) ] = 0$$ $$(x - 1) [ 6 + 6 ] - (y - 2) [ -2 + 3 ] + (z - 3) [ -2 - 3 ] = 0$$ $$12(x - 1) - 1(y - 2) - 5(z - 3) = 0$$ Operamos para simplificar: $$12x - 12 - y + 2 - 5z + 15 = 0$$ $$12x - y - 5z + 5 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{12x - y - 5z + 5 = 0}$$