Propiedades del producto escalar y vectorial

**2.1 (2,5 puntos) Sean $u$ y $v$ dos vectores no nulos de $\mathbb{R}^3$ perpendiculares entre sí y $w = u \times v$ su producto vectorial. Se definen $a = (u \times v) + w$, $b = v \times (v \times w)$ y $c = u \cdot (v \times w)$. Indica si $a, b$ y $c$ son vectores o escalares (números). Para aquellos que sean vectores, justifica si son paralelos o perpendiculares a cada uno de los vectores $u, v$ y $w$.** Primero, analizamos las propiedades de los vectores dados: 1. $u \perp v \implies u \cdot v = 0$. 2. $w = u \times v$. Por definición de producto vectorial, $w$ es un **vector** perpendicular al plano formado por $u$ y $v$. Por tanto: - $w \perp u \implies w \cdot u = 0$ - $w \perp v \implies w \cdot v = 0$ Esto significa que $\{u, v, w\}$ forman un sistema de tres vectores no nulos mutuamente perpendiculares (una base ortogonal de $\mathbb{R}^3$). 💡 **Tip:** El producto vectorial $u \times v$ produce un vector perpendicular a ambos, cuya dirección sigue la regla de la mano derecha.

Definimos $a = (u \times v) + w$. Como $u \times v = w$, sustituimos: $$a = w + w = 2w.$$ Como $w$ es un vector y $2$ es un número real, $a$ es el resultado de multiplicar un vector por un escalar. - **Naturaleza:** $a$ es un **vector**. - **Relación con $w$:** Al ser $a = 2w$, el vector $a$ tiene la misma dirección que $w$, por lo tanto, **$a$ es paralelo a $w$ ($a \parallel w$)**. - **Relación con $u$ y $v$:** Como $w$ es perpendicular a $u$ y a $v$, cualquier múltiplo de $w$ también lo será. Por tanto, **$a$ es perpendicular a $u$ y a $v$ ($a \perp u, a \perp v$)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \text{ es vector; } a \parallel w, a \perp u, a \perp v}$$

Definimos $b = v \times (v \times w)$. Analizamos el producto vectorial interno $(v \times w)$: Sabemos que $w$ es perpendicular a $v$. El producto vectorial $v \times w$ genera un vector que es perpendicular a $v$ y a $w$. En nuestro sistema ortogonal $\{u, v, w\}$, el vector que es perpendicular a $v$ y a $w$ debe ser paralelo a $u$. Ahora analizamos $b = v \times (v \times w)$: $b$ es el producto vectorial de $v$ con un vector que es paralelo a $u$. Por las propiedades del producto vectorial, $b$ debe ser perpendicular a $v$ y perpendicular a $u$. En un espacio tridimensional, el único vector (o dirección) perpendicular a $u$ y $v$ simultáneamente es la dirección de $w$. Alternativamente, usando la identidad del triple producto vectorial $A \times (B \times C) = B(A \cdot C) - C(A \cdot B)$: $$b = v \times (v \times w) = v(v \cdot w) - w(v \cdot v)$$ Como $v \perp w$, entonces $v \cdot w = 0$. Por tanto: $$b = 0 - w|v|^2 = -|v|^2 w$$ - **Naturaleza:** $b$ es un **vector** (es el vector $w$ multiplicado por el escalar $-|v|^2$). - **Relación con $w$:** Como $b$ es un múltiplo de $w$, **$b$ es paralelo a $w$ ($b \parallel w$)**. - **Relación con $u$ y $v$:** Al ser paralelo a $w$, y sabiendo que $w \perp u$ y $w \perp v$, concluimos que **$b$ es perpendicular a $u$ y a $v$ ($b \perp u, b \perp v$)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{b \text{ es vector; } b \parallel w, b \perp u, b \perp v}$$

Definimos $c = u \cdot (v \times w)$. Esta expresión representa el **producto mixto** de los vectores $u, v$ y $w$, denotado a veces como $[u, v, w]$. El producto mixto se define como el producto escalar de un vector por el producto vectorial de otros dos. El resultado de un producto escalar es siempre un número real. - **Naturaleza:** $c$ es un **escalar** (un número). Podemos calcular su valor para mayor claridad. Como vimos antes, $v \times w$ es un vector perpendicular a $v$ y a $w$. En el sistema $\{u, v, w\}$, esto significa que $v \times w$ es paralelo a $u$. Específicamente, $v \times w = v \times (u \times v)$. Usando la identidad de nuevo: $$v \times (u \times v) = u(v \cdot v) - v(v \cdot u) = u|v|^2 - 0 = |v|^2 u$$ Entonces: $$c = u \cdot (|v|^2 u) = |v|^2 (u \cdot u) = |v|^2 |u|^2$$ Como $u$ y $v$ son no nulos, sus módulos son positivos y $c$ es un número real positivo. 💡 **Tip:** El producto escalar siempre devuelve un número (escalar), mientras que el producto vectorial devuelve un vector. ✅ **Resultado:** $$\boxed{c \text{ es un escalar}}$$