Álgebra 2025 Aragon
Criptografía matricial: encriptado y desencriptado
1. Queremos encriptar el mensaje “HOLA” con un sistema de encriptado que consta de los siguientes pasos:
Paso 1: Convertimos cada carácter del mensaje a encriptar (en nuestro caso la palabra “HOLA”) en un número según la tabla siguiente:
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Paso 2: Construimos una matriz columna, $M_c$, con los cuatro números obtenidos en el paso anterior.
Paso 3: Multiplicamos la matriz de encriptado, $M_E = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, por la matriz $M_c$ obtenida en el paso anterior.
El resultado del último paso, $M_{final}$, es el mensaje encriptado.
a) (0,5 puntos) Obtén el mensaje encriptado al que se llega a partir del mensaje “HOLA” inicial.
b) (0,5 puntos) Explica cómo podríamos realizar el proceso de desencriptado para recuperar un mensaje a partir de un mensaje encriptado recibido.
c) (1 punto) Si hemos obtenido el mensaje encriptado $M_{final} = \begin{pmatrix} 30 \\ -21 \\ -25 \\ -16 \end{pmatrix}$ con el proceso descrito arriba, ¿cuál es el mensaje original?
d) (0,5 puntos) Si quisiéramos utilizar otra matriz de encriptado, del mismo tamaño que $M_E$, ¿qué condición debería cumplir dicha matriz para poder realizar el proceso completo de encriptado y desencriptado sin problemas?
Paso 1
Conversión del mensaje HOLA a matriz columna
**a) (0,5 puntos) Obtén el mensaje encriptado al que se llega a partir del mensaje “HOLA” inicial.**
Primero, seguimos el **Paso 1** y el **Paso 2** descritos en el enunciado para convertir la palabra “HOLA” en una matriz columna $M_c$.
Consultando la tabla de correspondencias:
- **H** corresponde al número **8**.
- **O** corresponde al número **16**.
- **L** corresponde al número **12**.
- **A** corresponde al número **1**.
Construimos la matriz columna:
$$M_c = \begin{pmatrix} 8 \\ 16 \\ 12 \\ 1 \end{pmatrix}$$
💡 **Tip:** Asegúrate de seguir el orden de las letras de la palabra para que la matriz $M_c$ sea correcta.
Paso 2
Cálculo de la matriz final encriptada
Aplicamos el **Paso 3**, multiplicando la matriz de encriptado $M_E$ por la matriz columna $M_c$:
$$M_{final} = M_E \cdot M_c = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 16 \\ 12 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Realizamos el producto de matriz por vector fila a fila:
1. $1(8) + 1(16) + 1(12) + 1(1) = 8 + 16 + 12 + 1 = 37$
2. $-1(8) + 0(16) - 1(12) - 1(1) = -8 + 0 - 12 - 1 = -21$
3. $-1(8) - 1(16) + 0(12) - 1(1) = -8 - 16 + 0 - 1 = -25$
4. $-1(8) - 1(16) - 1(12) + 0(1) = -8 - 16 - 12 + 0 = -36$
Obtenemos así el mensaje encriptado:
$$\boxed{M_{final} = \begin{pmatrix} 37 \\ -21 \\ -25 \\ -36 \end{pmatrix}}$$
Paso 3
Explicación del proceso de desencriptado
**b) (0,5 puntos) Explica cómo podríamos realizar el proceso de desencriptado para recuperar un mensaje a partir de un mensaje encriptado recibido.**
El proceso de encriptado consiste en la operación matricial $M_{final} = M_E \cdot M_c$. Para recuperar el mensaje original (la matriz $M_c$), debemos despejarla de dicha ecuación.
Si la matriz $M_E$ es **invertible** (es decir, si existe $M_E^{-1}$), podemos multiplicar por la izquierda en ambos lados de la igualdad por la matriz inversa:
$$M_E^{-1} \cdot M_{final} = M_E^{-1} \cdot (M_E \cdot M_c)$$
$$M_E^{-1} \cdot M_{final} = (M_E^{-1} \cdot M_E) \cdot M_c$$
$$M_E^{-1} \cdot M_{final} = I \cdot M_c \implies M_c = M_E^{-1} \cdot M_{final}$$
Una vez obtenida la matriz $M_c$, simplemente tendríamos que traducir los números resultantes a sus letras correspondientes según la tabla del Paso 1.
💡 **Tip:** También se podría resolver planteando un **sistema de ecuaciones lineales** donde las incógnitas son los elementos de $M_c$, aunque el uso de la matriz inversa es el método matricial estándar.
$$\boxed{\text{Se multiplica la matriz inversa } M_E^{-1} \text{ por el mensaje encriptado } M_{final}: M_c = M_E^{-1} \cdot M_{final}}.$$
Paso 4
Planteamiento del sistema para desencriptar
**c) (1 punto) Si hemos obtenido el mensaje encriptado $M_{final} = \begin{pmatrix} 30 \\ -21 \\ -25 \\ -16 \end{pmatrix}$ con el proceso descrito arriba, ¿cuál es el mensaje original?**
Sea $M_c = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}$ la matriz del mensaje original. Debemos resolver $M_E \cdot M_c = M_{final}$:
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 \\ -21 \\ -25 \\ -16 \end{pmatrix}$$
Esto equivale al sistema de ecuaciones:
1) $x + y + z + w = 30$
2) $-x - z - w = -21 \implies x + z + w = 21$
3) $-x - y - w = -25 \implies x + y + w = 25$
4) $-x - y - z = -16 \implies x + y + z = 16$
💡 **Tip:** En este caso, el sistema es muy sencillo de resolver por sustitución directa comparando las ecuaciones con la primera.
Paso 5
Resolución del sistema y traducción a letras
Sustituimos las sumas parciales en la primera ecuación $x + y + z + w = 30$:
- Usando (2): $(x + z + w) + y = 30 \implies 21 + y = 30 \implies \mathbf{y = 9}$
- Usando (3): $(x + y + w) + z = 30 \implies 25 + z = 30 \implies \mathbf{z = 5}$
- Usando (4): $(x + y + z) + w = 30 \implies 16 + w = 30 \implies \mathbf{w = 14}$
Ahora calculamos $x$ usando cualquiera de las otras, por ejemplo la (2):
$x + 5 + 14 = 21 \implies x + 19 = 21 \implies \mathbf{x = 2}$
Los valores de $M_c$ son: **2, 9, 5, 14**.
Consultamos la tabla de correspondencia:
- **2** $\to$ **B**
- **9** $\to$ **I**
- **5** $\to$ **E**
- **14** $\to$ **N**
El mensaje original es la palabra **BIEN**.
$$\boxed{\text{Mensaje original: BIEN}}$$
Paso 6
Condición para la matriz de encriptado
**d) (0,5 puntos) Si quisiéramos utilizar otra matriz de encriptado, del mismo tamaño que $M_E$, ¿qué condición debería cumplir dicha matriz para poder realizar el proceso completo de encriptado y desencriptado sin problemas?**
Para que el proceso de desencriptado sea posible y único, la matriz de encriptado utilizada debe permitir recuperar de forma inequívoca la matriz original $M_c$.
Esto ocurre si, y solo si, la matriz es **invertible** o **regular**. Matemáticamente, esto significa que su determinante debe ser distinto de cero:
$$\det(M_E) \neq 0$$
Si el determinante fuera cero (matriz singular), el sistema de ecuaciones asociado podría no tener solución o tener infinitas soluciones, lo que impediría recuperar el mensaje original de manera fiable.
$$\boxed{\text{La matriz debe ser invertible, es decir, su determinante debe ser distinto de cero: } \det(M_E) \neq 0}$$