Probabilidad y Estadística 2025 Aragon
Comparación de beneficios con distribuciones normales
4.2 El beneficio mensual de dos empresas locales puede aproximarse por dos variables aleatorias con distribución normal. La media y la desviación típica, en euros, de ambas distribuciones es la siguiente:
$$\begin{array}{lcc}
\text{Empresa} & \text{Media} & \text{Desviación típica} \\
\hline
\text{PI S.A.} & 11125 & 527 \\
\text{RHO M.A.} & 10950 & 430
\end{array}$$
Hay dos inversores que quieren invertir parte de sus ahorros en una de estas dos empresas.
a) (1,25 puntos) El primer inversor, con perfil agresivo, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener un beneficio mensual superior a 10000 euros sea mayor. ¿En qué empresa debe invertir?
b) (1,25 puntos) El segundo inversor, con perfil más conservador, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener pérdidas a lo largo de un mes sea menor. ¿En qué empresa debe invertir?
Paso 1
Definición de las variables aleatorias
**a) (1,25 puntos) El primer inversor, con perfil agresivo, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener un beneficio mensual superior a 10000 euros sea mayor. ¿En qué empresa debe invertir?**
En primer lugar, definimos las variables aleatorias que representan el beneficio mensual de cada empresa, siguiendo una distribución normal $N(\mu, \sigma)$:
- Empresa PI S.A.: $X \sim N(11125, 527)$
- Empresa RHO M.A.: $Y \sim N(10950, 430)$
El inversor agresivo busca la empresa donde la probabilidad de que el beneficio sea superior a $10000$ sea mayor, es decir, comparamos $P(X \gt 10000)$ frente a $P(Y \gt 10000)$.
💡 **Tip:** Para trabajar con cualquier normal, debemos tipificar la variable utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, donde $Z \sim N(0, 1)$.
Paso 2
Probabilidad de beneficio para PI S.A.
Calculamos la probabilidad para la empresa PI S.A. tipificando el valor $10000$:
$$P(X \gt 10000) = P\left(Z \gt \frac{10000 - 11125}{527}\right) = P\left(Z \gt \frac{-1125}{527}\right) \approx P(Z \gt -2.13)$$
Usando las propiedades de simetría de la distribución normal:
$$P(Z \gt -2.13) = P(Z \le 2.13)$$
Buscando en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$:
$$P(Z \le 2.13) = 0.9834$$
💡 **Tip:** Recuerda que por simetría $P(Z \gt -k) = P(Z \lt k)$.
Paso 3
Probabilidad de beneficio para RHO M.A. y comparación
Calculamos ahora la probabilidad para la empresa RHO M.A.:
$$P(Y \gt 10000) = P\left(Z \gt \frac{10000 - 10950}{430}\right) = P\left(Z \gt \frac{-950}{430}\right) \approx P(Z \gt -2.21)$$
Nuevamente, por simetría:
$$P(Z \gt -2.21) = P(Z \le 2.21)$$
Buscando en la tabla de la normal estándar:
$$P(Z \le 2.21) = 0.9864$$
Comparando ambos resultados:
$$0.9864 \gt 0.9834 \implies P(Y \gt 10000) \gt P(X \gt 10000)$$
✅ **Resultado (Apartado a):**
$$\boxed{\text{El primer inversor debe invertir en la empresa RHO M.A.}}$$
Paso 4
Análisis de pérdidas para el inversor conservador
**b) (1,25 puntos) El segundo inversor, con perfil más conservador, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener pérdidas a lo largo de un mes sea menor. ¿En qué empresa debe invertir?**
Tener pérdidas significa que el beneficio mensual es negativo (inferior a $0$). Por tanto, debemos comparar $P(X \lt 0)$ y $P(Y \lt 0)$.
Para PI S.A.:
$$P(X \lt 0) = P\left(Z \lt \frac{0 - 11125}{527}\right) = P(Z \lt -21.11)$$
Para RHO M.A.:
$$P(Y \lt 0) = P\left(Z \lt \frac{0 - 10950}{430}\right) = P(Z \lt -25.47)$$
💡 **Tip:** Cuanto más alejado hacia la izquierda esté el valor de $Z$ (más negativo sea), menor será la probabilidad acumulada en la cola de la distribución.
Paso 5
Comparación de probabilidades de pérdida
Observamos que ambos valores de $Z$ son extremadamente bajos, lo que indica que la probabilidad de pérdidas en ambas empresas es prácticamente nula ($0$).
Sin embargo, matemáticamente podemos comparar las colas:
Como $-25.47 \lt -21.11$, el valor de $Z$ para RHO M.A. está mucho más alejado de la media hacia la izquierda que el de PI S.A.
Esto implica que:
$$P(Z \lt -25.47) \lt P(Z \lt -21.11) \implies P(Y \lt 0) \lt P(X \lt 0)$$
La empresa con menor probabilidad de pérdidas es RHO M.A.
✅ **Resultado (Apartado b):**
$$\boxed{\text{El segundo inversor debe invertir en la empresa RHO M.A.}}$$