Estudio de monotonía, extremos y cálculo de áreas

**a) (0,5 puntos) Estudia intervalos de crecimiento y decrecimiento de $g(x)$.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento (monotonía), calculamos la primera derivada de la función $g(x) = x - \text{sen}(x)$: $$g'(x) = 1 - \cos(x).$$ Analizamos el signo de $g'(x)$ en el dominio $\mathbb{R}$. Sabemos que para cualquier número real $x$, el coseno cumple: $$-1 \le \cos(x) \le 1.$$ Multiplicando por $-1$ y sumando $1$: $$1 - 1 \le 1 - \cos(x) \le 1 - (-1) \implies 0 \le g'(x) \le 2.$$ La derivada $g'(x)$ es siempre mayor o igual a cero. Se anula únicamente cuando $\cos(x) = 1$, lo cual ocurre en los puntos $x = 2k\pi$ para $k \in \mathbb{Z}$. Como estos son puntos aislados y la derivada es positiva en el resto, la función es estrictamente creciente en todo su dominio. $$\begin{array}{c|c} x & \mathbb{R} \\\hline g'(x) & + (\text{o } 0 \text{ en puntos aislados}) \\\hline g(x) & \text{Creciente} (\uparrow) \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si $f'(x) \ge 0$ en un intervalo y solo se anula en puntos aislados, la función es estrictamente creciente en dicho intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g(x) \text{ es creciente en todo } \mathbb{R}}$$

**b) (0,5 puntos) Obtén los máximos y mínimos absolutos de $g(x)$ en el intervalo $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.** Dado que $g(x)$ es una función continua y estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ (como hemos demostrado en el apartado anterior), en cualquier intervalo cerrado $[a, b]$, el mínimo absoluto se alcanzará en el extremo izquierdo y el máximo absoluto en el extremo derecho. 1. **Mínimo absoluto:** $$g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 1.$$ 2. **Máximo absoluto:** $$g(\pi) = \pi - \text{sen}(\pi) = \pi - 0 = \pi.$$ 💡 **Tip:** En funciones monótonas crecientes dentro de un intervalo cerrado $[a, b]$, los extremos absolutos siempre coinciden con los valores de la función en los extremos del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo absoluto: } \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}-1\right) \approx (1.57, 0.57) \quad \text{Máximo absoluto: } (\pi, \pi) \approx (3.14, 3.14)}$$

**c) (1,5 puntos) Calcula el área delimitada por la gráfica de la función $h(x) = x g(x)$, el eje $X$ y las rectas $x = \pi/2$ y $x = \pi$.** Primero definimos la función $h(x)$: $$h(x) = x \cdot g(x) = x(x - \text{sen}(x)) = x^2 - x\text{sen}(x).$$ En el intervalo $[\frac{\pi}{2}, \pi]$, tanto $x$ como $g(x)$ son positivos (ya que el mínimo de $g$ es $\frac{\pi}{2}-1 > 0$). Por tanto, $h(x) \ge 0$ en dicho intervalo y no corta al eje $X$. El área $A$ viene dada por la integral definida: $$A = \int_{\pi/2}^{\pi} (x^2 - x\text{sen}(x)) \, dx.$$ Podemos separar la integral por la propiedad de linealidad: $$A = \int_{\pi/2}^{\pi} x^2 \, dx - \int_{\pi/2}^{\pi} x\text{sen}(x) \, dx.$$ 💡 **Tip:** Para calcular el área bajo una curva $f(x)$ que es siempre positiva en $[a, b]$, usamos directamente $\int_a^b f(x) dx$.

Para resolver $\int x\text{sen}(x) \, dx$, utilizamos el método de **integración por partes**. Fórmula: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \text{sen}(x)dx \implies v = -\cos(x)$ Aplicamos la fórmula: $$\int x\text{sen}(x) \, dx = -x\cos(x) - \int -\cos(x) \, dx = -x\cos(x) + \text{sen}(x) + C.$$ Por otro lado, la integral de $x^2$ es inmediata: $$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C.$$ Por tanto, la primitiva de $h(x)$ es: $$H(x) = \frac{x^3}{3} - (-x\cos(x) + \text{sen}(x)) = \frac{x^3}{3} + x\cos(x) - \text{sen}(x).$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica ALPES para elegir $u$: (A)rcos, (L)ogaritmos, (P)olinomios, (E)xponenciales, (S)enos/Cosenos. Aquí $x$ es Polinomio (P).

Calculamos el valor del área evaluando la primitiva en los límites de integración: $$A = \left[ \frac{x^3}{3} + x\cos(x) - \text{sen}(x) \right]_{\pi/2}^{\pi}$$ Evaluamos en $x = \pi$: $$H(\pi) = \frac{\pi^3}{3} + \pi\cos(\pi) - \text{sen}(\pi) = \frac{\pi^3}{3} + \pi(-1) - 0 = \frac{\pi^3}{3} - \pi.$$ Evaluamos en $x = \pi/2$: $$H\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{(\pi/2)^3}{3} + \frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^3}{24} + 0 - 1 = \frac{\pi^3}{24} - 1.$$ Restamos ambos valores: $$A = \left( \frac{\pi^3}{3} - \pi \right) - \left( \frac{\pi^3}{24} - 1 \right) = \frac{8\pi^3 - \pi^3}{24} - \pi + 1 = \frac{7\pi^3}{24} - \pi + 1.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{7\pi^3}{24} - \pi + 1 \text{ u}^2 \approx 6.90 \text{ u}^2}$$