Derivadas, integrales y límites con parámetros

**a) (0,5 puntos) Dada la función $f(x) = 2 + \text{sen}(x)\cos(x)$ con $x \in \mathbb{R}$, calcula $f'(x)$.** Para calcular la derivada de $f(x)$, observamos que el primer término es una constante y el segundo es un producto de dos funciones trigonométricas. 1. La derivada de la constante $2$ es $0$. 2. Aplicamos la regla del producto para derivar $\text{sen}(x)\cos(x)$: $$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$ Donde $u = \text{sen}(x)$ y $v = \cos(x)$. Sus derivadas son $u' = \cos(x)$ y $v' = -\text{sen}(x)$. Sustituimos: $$f'(x) = 0 + [\cos(x) \cdot \cos(x) + \text{sen}(x) \cdot (-\text{sen}(x))]$$ $$f'(x) = \cos^2(x) - \text{sen}^2(x)$$ 💡 **Tip:** Aunque no es estrictamente necesario, recuerda que por la identidad del ángulo doble, esta expresión es igual a $\cos(2x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \cos^2(x) - \text{sen}^2(x)}$$

**b) (1 punto) Obtén $\int \frac{\cos^2(x) - \text{sen}^2(x)}{2 + \text{sen}(x)\cos(x)} dx$.** Observamos la estructura de la integral. El numerador es exactamente la función derivada $f'(x)$ que calculamos en el apartado anterior, y el denominador es la función original $f(x)$. La integral es de tipo logarítmico, siguiendo la fórmula: $$\int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)| + C$$ En este caso: - Numerador: $f'(x) = \cos^2(x) - \text{sen}^2(x)$ - Denominador: $f(x) = 2 + \text{sen}(x)\cos(x)$ Como $2 + \text{sen}(x)\cos(x) = 2 + \frac{1}{2}\text{sen}(2x)$ y el valor mínimo de $\frac{1}{2}\text{sen}(2x)$ es $-0,5$, la función siempre es positiva ($f(x) \ge 1,5$), por lo que el valor absoluto no es estrictamente necesario, aunque se suele poner por convenio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int \frac{\cos^2(x) - \text{sen}^2(x)}{2 + \text{sen}(x)\cos(x)} dx = \ln(2 + \text{sen}(x)\cos(x)) + C}$$

**c) (1 punto) Calcula (si existe), en función del valor de $k \in \mathbb{Z}$, el valor del límite $$\lim_{x \to 1} \frac{(x^4 + x^3 - x^2 - x)}{(x^2 - 1)^{2k}}.$$** Primero, factorizamos el numerador y el denominador para identificar las indeterminaciones. **Factorización del numerador:** $$x^4 + x^3 - x^2 - x = x(x^3 + x^2 - x - 1)$$ Agrupamos términos dentro del paréntesis: $$x[x^2(x + 1) - (x + 1)] = x(x^2 - 1)(x + 1) = x(x - 1)(x + 1)(x + 1) = x(x - 1)(x + 1)^2$$ **Factorización del denominador:** $$(x^2 - 1)^{2k} = [(x - 1)(x + 1)]^{2k} = (x - 1)^{2k}(x + 1)^{2k}$$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 1} \frac{x(x - 1)(x + 1)^2}{(x - 1)^{2k}(x + 1)^{2k}} = \lim_{x \to 1} \frac{x}{(x - 1)^{2k-1}(x + 1)^{2k-2}}$$

Analizamos el límite obtenido: $$\lim_{x \to 1} \frac{x}{(x - 1)^{2k-1}(x + 1)^{2k-2}}$$ Como $k \in \mathbb{Z}$, estudiamos los posibles casos para el exponente de $(x-1)$: 1. **Si $k \le 0$:** El exponente del denominador $2k-1$ será negativo (por ejemplo, si $k=0$, el exponente es $-1$). Esto significa que el factor $(x-1)$ pasa al numerador con exponente positivo. $$\text{Si } k=0: \lim_{x \to 1} x(x-1)(x+1)^2 = 1 \cdot 0 \cdot 4 = 0$$ Para cualquier $k < 0$, el límite seguirá siendo **0**. 2. **Si $k \ge 1$:** El exponente $2k-1$ es un número entero positivo e **impar** ($1, 3, 5 \dots$). Al evaluar en $x=1$, el denominador tiende a $0$. Estudiamos los límites laterales para el caso más sencillo ($k=1$): $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x}{x-1} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x}{x-1} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ Como los límites laterales son distintos, el límite no existe. Para $k > 1$, el exponente $2k-1$ sigue siendo impar y $(x+1)^{2k-2}$ es positivo, por lo que se mantiene la diferencia de signos en los límites laterales ($\pm \infty$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } k \le 0, & \text{el límite es } 0 \\ \text{Si } k \ge 1, & \text{el límite no existe} \end{cases}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "limit_func", "latex": "g(x) = \\frac{x}{x-1}", "color": "#2563eb" }, { "id": "point", "latex": "(1, 0)", "color": "#ef4444", "pointStyle": "OPEN" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 4, "bottom": -10, "top": 10 } } }