Ecuaciones matriciales y propiedades de la matriz inversa

**a) (1,5 puntos) Estudia si existen matrices columna no nulas $B$ y $C$ tales que $$\begin{cases} A \cdot B = -B, \\ A \cdot C = B - C. \end{cases}$$ En caso afirmativo, calcula la expresión general de dichas matrices $B$ y $C$.** Empezamos analizando la primera ecuación: $A \cdot B = -B$. Esta ecuación es equivalente a $A \cdot B + B = \mathbf{0}$, donde $\mathbf{0}$ es la matriz columna nula. Podemos factorizar la matriz $B$ por la derecha utilizando la matriz identidad $I$ de orden 4: $$(A + I) \cdot B = \mathbf{0}$$ Calculamos la matriz $M = A + I$: $$A + I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar factor común en expresiones matriciales como $A B + B$, debemos escribir $(A + I) B$ porque $B = I \cdot B$.

Sea $B = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}$. El sistema $(A + I)B = \mathbf{0}$ se traduce en: $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Obtenemos las ecuaciones: 1) $2x + y = 0$ 2) $2y = 0 \implies y = 0$. Sustituyendo en (1), $2x + 0 = 0 \implies x = 0$. 3) $1 \cdot w = 0 \implies w = 0$. 4) $0 = 0$ (ecuación trivial). La variable $z$ no aparece en las ecuaciones restrictivas, por lo que es un parámetro libre ($z = \lambda$). Como buscamos una matriz $B$ **no nula**, debemos imponer que $\lambda \neq 0$. $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \lambda \\ 0 \end{pmatrix}, \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq 0}$$

Ahora resolvemos $A \cdot C = B - C$, que es equivalente a $A \cdot C + C = B$, es decir: $$(A + I) \cdot C = B$$ Utilizamos la matriz $A+I$ calculada anteriormente y la expresión general de $B$. Sea $C = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ w' \end{pmatrix}$: $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ w' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \lambda \\ 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para que exista $C$, el sistema debe ser compatible. El rango de $(A+I)$ es 3 y el de la matriz ampliada también será 3 si el vector $B$ permite la consistencia.

Del sistema anterior extraemos las ecuaciones: 1) $2x' + y' = 0$ 2) $2y' = 0 \implies y' = 0$. Sustituyendo en (1), $x' = 0$. 3) $1 \cdot w' = \lambda \implies w' = \lambda$. 4) $0 = 0$. La variable $z'$ es libre, por lo que asignamos un nuevo parámetro $z' = \mu$. La matriz $C$ resultante es: $$\boxed{C = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \mu \\ \lambda \end{pmatrix}, \text{ con } \mu \in \mathbb{R}}$$ Para que $C$ sea no nula, dado que $\lambda \neq 0$ (por la condición de $B$), $C$ nunca será la matriz nula independientemente del valor de $\mu$. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \lambda \\ 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \mu \\ \lambda \end{pmatrix} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \lambda \neq 0}$$

**b) (1 punto) Sea $D$ una matriz columna no nula tal que $A \cdot D = D$. Demuestra que también se cumple $A^{-1} \cdot D = D$.** Primero, comprobamos si la matriz $A$ es invertible. Al ser una matriz triangular superior, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: $$\det(A) = 1 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1$$ Como $\det(A) \neq 0$, la matriz $A$ es **regular** (invertible), por lo que existe $A^{-1}$. 💡 **Tip:** En una matriz triangular (superior o inferior), el determinante es siempre el producto de su diagonal. Esto ahorra mucho tiempo en el examen.

Partimos de la condición dada: $$A \cdot D = D$$ Como existe $A^{-1}$, multiplicamos por la izquierda en ambos miembros de la igualdad por dicha matriz inversa: $$A^{-1} \cdot (A \cdot D) = A^{-1} \cdot D$$ Aplicamos la propiedad asociativa del producto de matrices: $$(A^{-1} \cdot A) \cdot D = A^{-1} \cdot D$$ Como $A^{-1} \cdot A = I$ (matriz identidad): $$I \cdot D = A^{-1} \cdot D$$ Por la definición de la matriz identidad ($I \cdot D = D$): $$D = A^{-1} \cdot D$$ O, escrito de forma equivalente: $$\boxed{A^{-1} \cdot D = D}$$ Queda así demostrado que si $D$ es un autovector de $A$ asociado al autovalor 1, también lo es de su inversa.