Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) (1,5 puntos) Estudia, en función del parámetro $m \in \mathbb{R}$, el número de soluciones del sistema anterior.** Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 8 & m & -6 \\ -1 & -2 & m^2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 8 & m & -6 & -8 \\ -1 & -2 & m^2 & m \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema mediante el **Teorema de Rouché-Frobenius**, empezamos calculando el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 8 & m & -6 \\ -1 & -2 & m^2 \end{vmatrix} = (1 \cdot m \cdot m^2) + (2 \cdot (-6) \cdot (-1)) + ((-1) \cdot 8 \cdot (-2)) - [(-1 \cdot m \cdot (-1)) + (2 \cdot 8 \cdot m^2) + (1 \cdot (-6) \cdot (-2))]$$ $$|A| = (m^3 + 12 + 16) - (m + 16m^2 + 12) = m^3 - 16m^2 - m + 16$$ 💡 **Tip:** Para discutir sistemas, el primer paso es siempre encontrar los valores críticos del parámetro igualando el determinante de la matriz de coeficientes a cero.

Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de $m$: $$m^3 - 16m^2 - m + 16 = 0$$ Factorizamos por grupos: $$m^2(m - 16) - 1(m - 16) = 0 \implies (m^2 - 1)(m - 16) = 0$$ $$(m - 1)(m + 1)(m - 16) = 0$$ Las raíces son: **$m = 1$, $m = -1$ y $m = 16$**. Estas raíces dividen el estudio en cuatro casos.

**Caso 1: $m \neq 1, m \neq -1$ y $m \neq 16$** Si el parámetro no toma ninguno de estos valores, entonces: $$|A| \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 3$$ Como el número de incógnitas es $n = 3$, y el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 ni menor que el de $A$, tenemos: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = n$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una **solución única**. ✅ **Resultado Parcial:** $$\boxed{\text{Si } m \notin \{1, -1, 16\}, \text{ el sistema es SCD.}}$$

**Caso 2: $m = 1$** Sustituimos $m = 1$ en $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 8 & 1 & -6 & -8 \\ -1 & -2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 16 = -15 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Observamos que la fila 3 es proporcional a la fila 1 ($F_3 = -F_1$). Esto implica que cualquier determinante de orden 3 que incluya la columna de términos independientes será 0. Por tanto, $\text{rango}(A^*) = 2$. $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt n = 3$$ El sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene **infinitas soluciones**. ✅ **Resultado Parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = 1, \text{ el sistema es SCI.}}$$

**Caso 3: $m = -1$** Sustituimos $m = -1$ en $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 8 & -1 & -6 & -8 \\ -1 & -2 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ $\text{rango}(A) = 2$ pues $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 8 & -1 \end{vmatrix} = -17 \neq 0$. Estudiamos el rango de $A^*$ con un menor que use la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 8 & -1 & -8 \\ -1 & -2 & -1 \end{vmatrix} \text{ (Usamos } C_1, C_2, C_4)$$ Calculando por Sarrus: $(1 + 16 + 16) - (-1 + 16 - 16) = 33 - (-1) = 34 \neq 0$. Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rango}(A^*) = 3$. $$\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$$ El sistema es **Sistema Incompatible (SI)**, **no tiene solución**. ✅ **Resultado Parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = -1, \text{ el sistema es SI.}}$$

**Caso 4: $m = 16$** Sustituimos $m = 16$ en $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 8 & 16 & -6 & -8 \\ -1 & -2 & 256 & 16 \end{array}\right)$$ En $A$, las columnas $C_1$ y $C_2$ son proporcionales ($C_2 = 2C_1$), confirmando que el rango de $A$ es 2 (el menor $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 16 & -6 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$). Analizamos el rango de $A^*$ tomando las columnas $C_2, C_3, C_4$: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 16 & -6 & -8 \\ -2 & 256 & 16 \end{vmatrix} = (-192 - 16 - 4096) - (-12 - 4096 - 256) = -4304 + 4364 = 60 \neq 0$$ Entonces $\text{rango}(A^*) = 3$. $$\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$$ El sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado Final del apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} m \notin \{1, -1, 16\}: \text{SCD (Solución única)} \\ m = 1: \text{SCI (Infinitas soluciones)} \\ m = -1 \text{ o } m = 16: \text{SI (Sin solución)} \end{cases}}$$

**b) (1 punto) Resuelve, si es posible, el sistema para $m = 1$.** Como vimos en el apartado anterior, para $m = 1$ el sistema es SCI. El sistema original queda: $$\begin{cases} x + 2y - z = -1 \\ 8x + y - 6z = -8 \\ -x - 2y + z = 1 \end{cases}$$ Como la tercera ecuación es redundante (es la primera multiplicada por $-1$), el sistema se reduce a: $$\begin{cases} x + 2y - z = -1 \\ 8x + y - 6z = -8 \end{cases}$$ Para resolverlo, parametrizamos una variable. Sea **$z = \lambda$** con $\lambda \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x + 2y = \lambda - 1 \quad (1) \\ 8x + y = 6\lambda - 8 \quad (2) \end{cases}$$ Despejamos $y$ de la ecuación (2): $y = 6\lambda - 8 - 8x$. Sustituimos en (1): $$x + 2(6\lambda - 8 - 8x) = \lambda - 1 \implies x + 12\lambda - 16 - 16x = \lambda - 1$$ $$-15x = -11\lambda + 15 \implies x = \frac{11\lambda - 15}{15} = \frac{11}{15}\lambda - 1$$ Ahora hallamos $y$: $$y = 6\lambda - 8 - 8\left(\frac{11\lambda - 15}{15}\right) = \frac{90\lambda - 120 - 88\lambda + 120}{15} = \frac{2\lambda}{15}$$ 💡 **Tip:** En un SCI, siempre debes expresar todas las incógnitas en función de uno o más parámetros (normalmente $\lambda$, $\mu$...). ✅ **Resultado Final del apartado b):** $$\boxed{(x, y, z) = \left(-1 + \frac{11}{15}\lambda, \frac{2}{15}\lambda, \lambda\right), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$