Optimización del volumen de un tetraedro y cálculo de altura

**a) (1,5 puntos) Calcula el volumen máximo de dicha estructura (todos los datos están dados en metros).** Primero, definimos las coordenadas del punto $D$ en función del parámetro $\lambda$. Sabemos que $D$ pertenece al segmento $EF$, definido por: $$D = E + \lambda \vec{EF}$$ Calculamos el vector $\vec{EF}$: $$\vec{EF} = F - E = (3 - 0, 2 - 1, 3 - 3) = (3, 1, 0)$$ Sustituimos en la ecuación paramétrica: $$D(\lambda) = (0, 1, 3) + \lambda(3, 1, 0) = (3\lambda, 1 + \lambda, 3)$$ con $\lambda \in [0, 1]$.

El volumen de un tetraedro con vértices $A, B, C$ y $D$ viene dado por la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$. Calculamos los vectores desde el origen $A(0,0,0)$: $$\vec{AB} = (2, 0, 1/2)$$ $$\vec{AC} = (3/2, 3, 1)$$ $$\vec{AD} = (3\lambda, 1 + \lambda, 3)$$ El producto mixto $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]$ es el determinante: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1/2 \\ 3/2 & 3 & 1 \\ 3\lambda & 1+\lambda & 3 \end{vmatrix}$$ 💡 **Recuerda:** El volumen de un tetraedro es $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$.

Resolvemos el determinante mediante la regla de Sarrus o desarrollo por una fila: $$\text{Det} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1+\lambda & 3 \end{vmatrix} - 0 + \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} 3/2 & 3 \\ 3\lambda & 1+\lambda \end{vmatrix}$$ Desarrollamos los cálculos: $$\text{Det} = 2 [9 - (1+\lambda)] + \frac{1}{2} [\frac{3}{2}(1+\lambda) - 9\lambda]$$ $$\text{Det} = 2(8 - \lambda) + \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \frac{3}{2}\lambda - 9\lambda]$$ $$\text{Det} = 16 - 2\lambda + \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\lambda - \frac{9}{2}\lambda$$ Agrupamos términos constantes y con $\lambda$: $$\text{Det} = \left(16 + \frac{3}{4}\right) + \left(-2 + \frac{3}{4} - \frac{18}{4}\right)\lambda = \frac{67}{4} - \frac{23}{4}\lambda$$ El volumen es: $$V(\lambda) = \frac{1}{6} \left| \frac{67 - 23\lambda}{4} \right| = \frac{1}{24} |67 - 23\lambda|$$

Como $\lambda \in [0, 1]$, analizamos la función $V(\lambda) = \frac{1}{24} (67 - 23\lambda)$. Es una función lineal con pendiente negativa ($-\frac{23}{24}$), lo que significa que el volumen decrece a medida que $\lambda$ aumenta. Por tanto, el máximo se alcanza en el extremo inferior del intervalo, $\lambda = 0$. Para $\lambda = 0$: $$V(0) = \frac{67 - 23(0)}{24} = \frac{67}{24} \approx 2,7917 \text{ m}^3$$ Para $\lambda = 1$: $$V(1) = \frac{67 - 23(1)}{24} = \frac{44}{24} = \frac{11}{6} \approx 1,8333 \text{ m}^3$$ ✅ **Resultado (volumen máximo):** $$\boxed{V_{\text{máx}} = \frac{67}{24} \text{ m}^3}$$

**b) (1 punto) Calcula la altura de la estructura si tomásemos $\lambda = 1$.** Necesitamos el área de la base (triángulo $ABC$). Usamos el producto vectorial: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 1/2 \\ 3/2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i}(0 - 3/2) - \vec{j}(2 - 3/4) + \vec{k}(6 - 0)$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = -\frac{3}{2}\vec{i} - \frac{5}{4}\vec{j} + 6\vec{k} = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{4}, 6\right)$$ El área de la base es la mitad del módulo de este vector: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{4}\right)^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{16} + 36}$$ $$\text{Área} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{36 + 25 + 576}{16}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{637}}{4} = \frac{\sqrt{637}}{8} \text{ m}^2$$

Para $\lambda = 1$, el volumen es $V = \frac{11}{6} \text{ m}^3$. La fórmula de la altura despejada es: $$h = \frac{3 \cdot V}{\text{Área de la base}}$$ Sustituimos los valores: $$h = \frac{3 \cdot \frac{11}{6}}{\frac{\sqrt{637}}{8}} = \frac{\frac{11}{2}}{\frac{\sqrt{637}}{8}} = \frac{11 \cdot 8}{2 \cdot \sqrt{637}} = \frac{44}{\sqrt{637}}$$ Racionalizando o aproximando: $$h \approx \frac{44}{25,238} \approx 1,7433 \text{ m}$$ ✅ **Resultado (altura):** $$\boxed{h = \frac{44}{\sqrt{637}} \text{ m}}$$