Probabilidad total y Bayes con producción por provincias

EJERCICIO 7. (2,5 puntos) Una empresa fabrica bolígrafos en tres provincias: Almería, Barcelona y Cáceres. El porcentaje de producción total de bolígrafos que se fabrica en cada provincia es, respectivamente, del 20 %, 50 % y 30 %. Además, el porcentaje de bolígrafos defectuosos en cada una de ellas es, del 7 %, 6 % y 2 %, respectivamente. a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso? b) [1,5 puntos] Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería? Definimos los sucesos: - $A$: “proviene de Almería”, - $B$: “proviene de Barcelona”, - $C$: “proviene de Cáceres”, - $D$: “bolígrafo defectuoso”, - $N$: “bolígrafo no defectuoso” ($N=\overline{D}$). Datos: $$P(A)=0.20,\quad P(B)=0.50,\quad P(C)=0.30.$$ Porcentajes de defectuosos por provincia: $$P(D\mid A)=0.07,\quad P(D\mid B)=0.06,\quad P(D\mid C)=0.02.$$

Apartado a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso? Por la fórmula de la probabilidad total: $$P(D)=P(A)P(D\mid A)+P(B)P(D\mid B)+P(C)P(D\mid C).$$ Sustituimos: $$P(D)=0.20\cdot 0.07+0.50\cdot 0.06+0.30\cdot 0.02.$$ Calculamos: $$0.20\cdot 0.07=0.014,$$ $$0.50\cdot 0.06=0.030,$$ $$0.30\cdot 0.02=0.006.$$ Sumamos: $$P(D)=0.014+0.030+0.006=0.050.$$ Resultado: **$\boxed{P(D)=0.05}$**, es decir, **$\boxed{5\%}$**.

Apartado b) [1,5 puntos] Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería? Necesitamos $P(N)$. Como $N=\overline{D}$: $$P(N)=1-P(D)=1-0.05=0.95.$$

Apartado b) [1,5 puntos] Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería? Por Bayes: $$P(A\mid N)=\frac{P(A\cap N)}{P(N)}=\frac{P(A)P(N\mid A)}{P(N)}.$$ Primero: $$P(N\mid A)=1-P(D\mid A)=1-0.07=0.93.$$ Entonces: $$P(A\mid N)=\frac{0.20\cdot 0.93}{0.95}.$$ Calculamos el numerador: $$0.20\cdot 0.93=0.186.$$ Dividimos: $$P(A\mid N)=\frac{0.186}{0.95}\approx 0.1958.$$ Resultado: **$\boxed{P(A\mid N)\approx 0.1958}$**, es decir, **$\boxed{\approx 19.58\%}$**.