Distribución Normal: Cálculo de Probabilidades y Parámetros

**a) [1 punto] En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media 64 km/h y desviación típica 4 km/h. Si el radar de control salta a partir de 72 km/h, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan?** Primero definimos la variable aleatoria $X$ que representa la velocidad de los vehículos en km/h. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal con media $\mu = 64$ y desviación típica $\sigma = 4$: $$X \sim N(64, 4)$$ Queremos calcular la probabilidad de que un vehículo supere los 72 km/h, es decir, $P(X \gt 72)$. 💡 **Tip:** Para trabajar con cualquier distribución normal $N(\mu, \sigma)$, debemos transformarla en la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**: $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Tipificamos el valor 72 utilizando la fórmula $Z = \dfrac{X - 64}{4}$: $$P(X \gt 72) = P\left(Z \gt \frac{72 - 64}{4}\right) = P\left(Z \gt \frac{8}{4}\right) = P(Z \gt 2)$$ Como las tablas de la normal estándar suelen darnos la probabilidad acumulada hacia la izquierda ($P(Z \le z)$), usamos el suceso complementario: $$P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscando en la tabla de la distribución $N(0, 1)$, encontramos que para $z = 2,00$, el valor es $0,9772$: $$P(Z \gt 2) = 1 - 0,9772 = 0,0228$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100: $$0,0228 \cdot 100 = 2,28 \%$$ ✅ **Resultado (porcentaje de sancionados):** $$\boxed{2,28 \%}$$

**b) [1,5 puntos] En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de 63,6 km/h y que el 5,05 % de todos los vehículos viaja a más de 80 km/h. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica?** Definimos una nueva variable $Y$ para este sentido de circulación: $$Y \sim N(63,6, \sigma)$$ Se nos indica que el 5,05 % de los vehículos viajan a más de 80 km/h. Expresado en términos de probabilidad: $$P(Y \gt 80) = 0,0505$$ 💡 **Tip:** En este tipo de problemas donde falta un parámetro (en este caso $\sigma$), debemos realizar el proceso inverso en la tabla de la distribución normal tras tipificar.

Tipificamos la expresión para pasar a la variable $Z \sim N(0, 1)$: $$P(Y \gt 80) = P\left(Z \gt \frac{80 - 63,6}{\sigma}\right) = 0,0505$$ $$P\left(Z \gt \frac{16,4}{\sigma}\right) = 0,0505$$ Pasamos al complementario para poder usar la tabla: $$1 - P\left(Z \le \frac{16,4}{\sigma}\right) = 0,0505$$ $$P\left(Z \le \frac{16,4}{\sigma}\right) = 1 - 0,0505 = 0,9495$$ Ahora, buscamos en el interior de la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$ el valor de probabilidad más cercano a $0,9495$ para hallar el valor de $z$ correspondiente.

Al observar la tabla, vemos que para una probabilidad de $0,9495$, el valor de $z$ es exactamente $1,64$. Por tanto, establecemos la igualdad: $$\frac{16,4}{\sigma} = 1,64$$ Despejamos la desviación típica $\sigma$: $$\sigma = \frac{16,4}{1,64} = 10$$ La desviación típica de las velocidades en este sentido es de 10 km/h. ✅ **Resultado (desviación típica):** $$\boxed{\sigma = 10 \text{ km/h}}$$