Distancia de un punto a una recta y plano que contiene una recta y un punto

Apartado a) [1,25 puntos] Halla la distancia del punto $P$ a la recta $r$. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos: $$\begin{cases} x+y+z=0\\ y-z=0 \end{cases}$$ De $y-z=0$ se obtiene $y=z$. Sustituimos en $x+y+z=0$: $$x+y+y=0\Rightarrow x+2y=0\Rightarrow x=-2y.$$ Tomamos $y=t$, entonces $z=t$ y $x=-2t$. Paramétrica: $$r:\ (x,y,z)=(-2t,\,t,\,t).$$ Un punto de $r$ es $Q(0,0,0)$ (con $t=0$) y un vector director es $$\vec v=(-2,1,1).$$

Apartado a) [1,25 puntos] Halla la distancia del punto $P$ a la recta $r$. Como $Q(0,0,0)\in r$, el vector $\overrightarrow{QP}$ es $$\overrightarrow{QP}=P-Q=(2,1,0).$$ La distancia de $P$ a la recta que pasa por $Q$ con dirección $\vec v$ es: $$d(P,r)=\frac{\|\overrightarrow{QP}\times \vec v\|}{\|\vec v\|}.$$

Apartado a) [1,25 puntos] Halla la distancia del punto $P$ a la recta $r$. Calculamos: $$\overrightarrow{QP}\times \vec v=(2,1,0)\times(-2,1,1).$$ Usando determinantes: $$\begin{aligned} (2,1,0)\times(-2,1,1) &=\big(1\cdot 1-0\cdot 1,\,-(2\cdot 1-0\cdot(-2)),\,2\cdot 1-1\cdot(-2)\big)\\ &=(1,-2,4). \end{aligned}$$ Entonces: $$\|\overrightarrow{QP}\times \vec v\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{21}.$$ Y $$\|\vec v\|=\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}=\sqrt{6}.$$ Por tanto: $$d(P,r)=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{21}{6}}=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}.$$ Resultado: **$\boxed{d(P,r)=\dfrac{\sqrt{14}}{2}}$**.

Apartado b) [1,25 puntos] Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y al punto $P$. El plano buscado contiene: - la recta $r$, con vector director $\vec v=(-2,1,1)$, - y el punto $P(2,1,0)$. Tomamos un punto de $r$, por ejemplo $Q(0,0,0)$, y formamos otro vector del plano: $$\vec u=\overrightarrow{QP}=(2,1,0).$$ Un vector normal del plano es: $$\vec N=\vec v\times \vec u=(-2,1,1)\times(2,1,0).$$

Apartado b) [1,25 puntos] Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y al punto $P$. Calculamos el producto vectorial: $$\begin{aligned} (-2,1,1)\times(2,1,0) &=\big(1\cdot 0-1\cdot 1,\,-((-2)\cdot 0-1\cdot 2),\,(-2)\cdot 1-1\cdot 2\big)\\ &=(-1,2,-4). \end{aligned}$$ Podemos usar el normal proporcional $\vec N=(1,-2,4)$. Como el plano pasa por $Q(0,0,0)$, su ecuación es: $$\vec N\cdot(x,y,z)=0\Rightarrow 1\cdot x-2\cdot y+4\cdot z=0.$$ Resultado: **$\boxed{x-2y+4z=0}$**.