Cálculo de parámetros en un límite mediante la regla de L'Hôpital

Para resolver el límite, primero evaluamos la función en $x = 0$ para ver si presenta alguna indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{x \operatorname{sen}(x) + a(e^x - 1) + \operatorname{sen}(x)}{bx^2 + x - \operatorname{sen}(x)} = \frac{0 \cdot \operatorname{sen}(0) + a(e^0 - 1) + \operatorname{sen}(0)}{b(0)^2 + 0 - \operatorname{sen}(0)} = \frac{0 + a(0) + 0}{0 + 0 - 0} = \frac{0}{0}$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo **$\frac{0}{0}$**, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital nos dice que si $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces el límite es igual a $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, siempre que este último exista.

Derivamos el numerador y el denominador: - Numerador: $f(x) = x \operatorname{sen}(x) + a(e^x - 1) + \operatorname{sen}(x)$ $$f'(x) = [1 \cdot \operatorname{sen}(x) + x \cos(x)] + a e^x + \cos(x)$$ - Denominador: $g(x) = bx^2 + x - \operatorname{sen}(x)$ $$g'(x) = 2bx + 1 - \cos(x)$$ Aplicamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x) + x \cos(x) + a e^x + \cos(x)}{2bx + 1 - \cos(x)} = \frac{0 + 0 + a \cdot 1 + 1}{0 + 1 - 1} = \frac{a + 1}{0}$$ Para que el límite pueda ser igual a un valor finito (en este caso $1$), el numerador debe ser necesariamente **$0$** en $x = 0$ para evitar que el límite sea infinito (asíntota vertical). $$a + 1 = 0 \implies \mathbf{a = -1}$$ 💡 **Tip:** Si al aplicar L'Hôpital el denominador tiende a $0$, el numerador debe tender también a $0$ para que el resultado sea un número real determinado. $$\boxed{a = -1}$$

Con $a = -1$, volvemos a tener una indeterminación de tipo **$\frac{0}{0}$**. Aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez derivando $f'(x)$ y $g'(x)$: - Nueva derivada del numerador: $$f''(x) = (\operatorname{sen}(x) + x \cos(x) - e^x + \cos(x))'$$ $$f''(x) = \cos(x) + [1 \cdot \cos(x) - x \operatorname{sen}(x)] - e^x - \operatorname{sen}(x)$$ $$f''(x) = 2 \cos(x) - x \operatorname{sen}(x) - e^x - \operatorname{sen}(x)$$ - Nueva derivada del denominador: $$g''(x) = (2bx + 1 - \cos(x))' = 2b + \operatorname{sen}(x)$$ Calculamos el límite de nuevo: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(x) - x \operatorname{sen}(x) - e^x - \operatorname{sen}(x)}{2b + \operatorname{sen}(x)} = \frac{2 \cos(0) - 0 \cdot \operatorname{sen}(0) - e^0 - \operatorname{sen}(0)}{2b + \operatorname{sen}(0)}$$ $$\frac{2(1) - 0 - 1 - 0}{2b + 0} = \frac{1}{2b}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\cos(x)$ es $-\operatorname{sen}(x)$ y la de $\operatorname{sen}(x)$ es $\cos(x)$.

El enunciado nos indica que el valor del límite original es $1$. Por tanto, igualamos nuestro resultado a $1$: $$\frac{1}{2b} = 1$$ Despejamos **$b$**: $$1 = 2b \implies \mathbf{b = \frac{1}{2}}$$ Por tanto, los valores buscados para que se cumpla la igualdad son: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -1, \quad b = \frac{1}{2}}$$