Determinante en ecuación matricial y cálculo de una matriz mediante inversas

Apartado a) [1 punto] Halla razonadamente el determinante de una matriz $X$ que verifica $X^3AX^2=B^2$. Primero calculamos: $$\det(A)=\begin{vmatrix}2&2\\3&4\end{vmatrix}=2\cdot 4-2\cdot 3=8-6=2.$$ $$\det(B)=\begin{vmatrix}3&1\\2&2\end{vmatrix}=3\cdot 2-1\cdot 2=6-2=4.$$

Apartado a) [1 punto] Halla razonadamente el determinante de una matriz $X$ que verifica $X^3AX^2=B^2$. Tomamos determinantes en ambos lados: $$\det(X^3AX^2)=\det(B^2).$$ Usamos propiedades: - $\det(UV)=\det(U)\det(V)$, - $\det(M^n)=(\det M)^n$. Entonces: $$\det(X^3AX^2)=\det(X^3)\det(A)\det(X^2)=(\det X)^3\det(A)(\det X)^2=(\det X)^5\det(A).$$ Y $$\det(B^2)=(\det B)^2.$$

Apartado a) [1 punto] Halla razonadamente el determinante de una matriz $X$ que verifica $X^3AX^2=B^2$. Sustituimos $\det(A)=2$ y $\det(B)=4$: $$(\det X)^5\cdot 2=(4)^2=16.$$ Luego: $$(\det X)^5=\frac{16}{2}=8.$$ Como buscamos un determinante real, la única quinta raíz real de 8 es: $$\det(X)=\sqrt[5]{8}=8^{1/5}=2^{3/5}.$$ Resultado: **$\boxed{\det(X)=\sqrt[5]{8}}$**.

Apartado b) [1,5 puntos] Determina, si existe, una matriz $Y$ que verifique $A^3YB^{-1}=A^2$. Para poder despejar $Y$ necesitamos que $A$ y $B$ sean invertibles. Ya tenemos: $$\det(A)=2\ne 0\Rightarrow A^{-1}\ \text{existe},$$ $$\det(B)=4\ne 0\Rightarrow B^{-1}\ \text{existe}.$$ Por tanto, **sí existe** (y será única) una matriz $Y$ que cumpla la ecuación.

Apartado b) [1,5 puntos] Determina, si existe, una matriz $Y$ que verifique $A^3YB^{-1}=A^2$. Partimos de: $$A^3YB^{-1}=A^2.$$ Multiplicamos a la izquierda por $A^{-3}$: $$YB^{-1}=A^{-3}A^2=A^{-1}.$$ Ahora multiplicamos a la derecha por $B$: $$Y=A^{-1}B.$$

Apartado b) [1,5 puntos] Determina, si existe, una matriz $Y$ que verifique $A^3YB^{-1}=A^2$. Calculamos la inversa de $A$ (matriz $2\times 2$): $$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&2\end{pmatrix}.$$ Multiplicamos por $B$: $$Y=A^{-1}B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}.$$ Primero el producto sin el factor $\frac12$: $$\begin{pmatrix}4&-2\\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4\cdot 3+(-2)\cdot 2 & 4\cdot 1+(-2)\cdot 2\\ (-3)\cdot 3+2\cdot 2 & (-3)\cdot 1+2\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&0\\-5&1 \end{pmatrix}.$$ Entonces: $$Y=\frac12\begin{pmatrix}8&0\\-5&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}.$$ Resultado: **$\boxed{Y=\begin{pmatrix}4&0\\-\frac{5}{2}&\frac{_toggle{1}{2}}\end{pmatrix}}$**.