Posición relativa de dos rectas y ecuación del plano perpendicular común

**a) [1 punto] Estudia la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta: Para la recta $r$ (en forma continua): - Punto $P_r = (-1, -2, 2)$ - Vector director $\vec{v}_r = (4, 3, -1)$ Para la recta $s$ (en forma paramétrica): - Punto $P_s = (1, 2, -3)$ - Vector director $\vec{v}_s = (-1, 1, -2)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(a, b, c)$.

Comprobamos si los vectores directores son paralelos verificando si sus coordenadas son proporcionales: $$\frac{4}{-1} \neq \frac{3}{1} \neq \frac{-1}{-2}$$ Como los vectores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ no son proporcionales, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por tanto, las rectas o se cortan en un punto o se cruzan en el espacio.

Para distinguir si se cortan o se cruzan, calculamos el determinante formado por $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y el vector que une ambos puntos $\vec{P_rP_s}$. Calculamos $\vec{P_rP_s} = P_s - P_r$: $$\vec{P_rP_s} = (1 - (-1), 2 - (-2), -3 - 2) = (2, 4, -5)$$ Calculamos el determinante: $$\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_rP_s}) = \begin{vmatrix} 4 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$\text{det} = [4 \cdot 1 \cdot (-5) + 3 \cdot (-2) \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) \cdot 4] - [2 \cdot 1 \cdot (-1) + 4 \cdot (-2) \cdot 4 + (-5) \cdot (-1) \cdot 3]$$ $$\text{det} = [-20 - 12 + 4] - [-2 - 32 + 15] = [-28] - [-19] = -28 + 19 = -9$$ Como el determinante es distinto de cero ($\text{det} \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio}}$$

**b) [1,5 puntos] Halla la ecuación de un plano que contiene a $r$ y a una recta perpendicular a las rectas $r$ y $s$.** El plano que buscamos debe contener a $r$, por lo que contendrá al punto $P_r$ y al vector $\vec{v}_r$. Además, al contener a una recta perpendicular a $r$ y $s$, su segundo vector director será el producto vectorial de $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$. Calculamos el vector perpendicular $\vec{w} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s$: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por adjuntos de la primera fila: $$\vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = \vec{i}(-6 + 1) - \vec{j}(-8 - 1) + \vec{k}(4 + 3) = (-5, 9, 7)$$ 💡 **Tip:** El vector perpendicular común a dos rectas siempre se obtiene mediante su producto vectorial.

El plano $\pi$ queda determinado por: - Punto: $P_r = (-1, -2, 2)$ - Vector director 1: $\vec{v}_r = (4, 3, -1)$ - Vector director 2: $\vec{w} = (-5, 9, 7)$ La ecuación del plano se obtiene igualando a cero el determinante: $$\begin{vmatrix} x - (-1) & y - (-2) & z - 2 \\ 4 & 3 & -1 \\ -5 & 9 & 7 \end{vmatrix} = 0$$ $$\begin{vmatrix} x + 1 & y + 2 & z - 2 \\ 4 & 3 & -1 \\ -5 & 9 & 7 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos el determinante desarrollando por la primera fila: $$(x + 1) [3 \cdot 7 - (-1) \cdot 9] - (y + 2) [4 \cdot 7 - (-1) \cdot (-5)] + (z - 2) [4 \cdot 9 - 3 \cdot (-5)] = 0$$ $$(x + 1) (21 + 9) - (y + 2) (28 - 5) + (z - 2) (36 + 15) = 0$$ $$30(x + 1) - 23(y + 2) + 51(z - 2) = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda cambiar el signo del segundo elemento al desarrollar por adjuntos de una fila.

Operamos para obtener la forma general $Ax + By + Cz + D = 0$: $$30x + 30 - 23y - 46 + 51z - 102 = 0$$ Agrupamos los términos independientes: $$30x - 23y + 51z + (30 - 46 - 102) = 0$$ $$30x - 23y + 51z - 118 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{30x - 23y + 51z - 118 = 0}$$