Paralelismo y distancia entre recta y plano

**a) [1,5 puntos] Halla $m$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos.** Para estudiar la posición relativa entre la recta $r$ y el plano $\pi$, necesitamos el vector director de la recta, $\vec{d_r}$, y el vector normal del plano, $\vec{n_\pi}$. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de estos planos: $\vec{n_1} = (1, -1, 1)$ y $\vec{n_2} = (1, 2, -1)$. $$\vec{d_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{d_r} = [(-1) \cdot (-1)]\vec{i} + [1 \cdot 1]\vec{j} + [1 \cdot 2]\vec{k} - [(-1) \cdot 1]\vec{k} - [1 \cdot 2]\vec{i} - [(-1) \cdot 1]\vec{j}$$ $$\vec{d_r} = (1 - 2)\vec{i} - (-1 - 1)\vec{j} + (2 + 1)\vec{k} = -1\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos $\pi_1 \cap \pi_2$ es perpendicular a ambos vectores normales, por eso usamos el producto vectorial. $$\boxed{\vec{d_r} = (-1, 2, 3)}$$

Para que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi$, su vector director $\vec{d_r}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (m, -1, -2)$. La condición de perpendicularidad implica que su producto escalar debe ser cero: $$\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi} = 0$$ $$(-1, 2, 3) \cdot (m, -1, -2) = 0$$ $$-1 \cdot m + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) = 0$$ $$-m - 2 - 6 = 0 \implies -m - 8 = 0$$ $$m = -8$$ Para que sean paralelos (y no que la recta esté contenida en el plano), debemos comprobar que un punto de la recta no pertenece al plano. Tomamos un punto $P$ de $r$ resolviendo el sistema con $x=3$: $3 - y + z = 3 \implies z = y$ $3 + 2y - z = 4 \implies 3 + 2y - y = 4 \implies y = 1, z = 1$. $P(3, 1, 1)$. Sustituimos $P$ en $\pi$ con $m=-8$: $-8(3) - 1 - 2(1) = -27 \neq 5$. Como no pertenece, son paralelos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -8}$$

**b) [1 punto] Para $m = -8$, calcula la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$.** Como hemos comprobado en el apartado anterior, para $m = -8$ la recta $r$ y el plano $\pi$ son paralelos. En este caso, la distancia de la recta al plano es igual a la distancia de cualquier punto $P$ de la recta al plano: $$d(r, \pi) = d(P, \pi)$$ Utilizamos el punto de la recta $r$ obtenido anteriormente: $$P(3, 1, 1)$$ Y la ecuación general del plano $\pi$ para $m = -8$: $$-8x - y - 2z - 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Si la recta y el plano no fuesen paralelos, la distancia sería cero (pues se cortarían en un punto).

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores $P(3, 1, 1)$ y los coeficientes del plano $(-8, -1, -2, -5)$: $$d(r, \pi) = \frac{|-8(3) - 1(1) - 2(1) - 5|}{\sqrt{(-8)^2 + (-1)^2 + (-2)^2}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|-24 - 1 - 2 - 5|}{\sqrt{64 + 1 + 4}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|-32|}{\sqrt{69}} = \frac{32}{\sqrt{69}}$$ Si racionalizamos el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{32\sqrt{69}}{69} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{32}{\sqrt{69}} \approx 3.85 \text{ u.l.}}$$