Potencias de una matriz de rotación y determinante de una potencia

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula $A^4$ y $A^{31}$. Dada $$A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},$$ calculamos primero $A^2$: $$A^2=A\cdot A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$ Multiplicamos: - (1,1): $0\cdot 0+(-1)\cdot 1=-1$. - (1,2): $0\cdot (-1)+(-1)\cdot 0=0$. - (2,1): $1\cdot 0+0\cdot 1=0$. - (2,2): $1\cdot (-1)+0\cdot 0=-1$. Por tanto: $$A^2=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I.$$

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula $A^4$ y $A^{31}$. Como $A^2=-I$, entonces: $$A^4=(A^2)^2=(-I)^2=I.$$ Para $A^{31}$, escribimos $31=4\cdot 7+3$: $$A^{31}=A^{4\cdot 7+3}=(A^4)^7\,A^3=I^7\,A^3=A^3.$$ Pero $$A^3=A^2\cdot A=(-I)\cdot A=-A.$$ Así: $$A^{31}=-A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.$$ Resultados del apartado a): $$\boxed{A^4=I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad \boxed{A^{31}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$$

Apartado b) [1,25 puntos] Halla razonadamente el determinante de la matriz $4A^{25}(A^t)^4$. Queremos: $$\det\big(4A^{25}(A^t)^4\big).$$ Usamos propiedades: 1) Para matrices $2\times 2$, $\det(kM)=k^2\det(M)$. 2) $\det(BC)=\det(B)\det(C)$. 3) $\det(M^n)=(\det M)^n$. 4) $\det(A^t)=\det(A)$. Primero calculamos $\det(A)$: $$\det(A)=\begin{vmatrix}0&-1\\1&0\end{vmatrix}=0\cdot 0-(-1)\cdot 1=1.$$

Apartado b) [1,25 puntos] Halla razonadamente el determinante de la matriz $4A^{25}(A^t)^4$. Separamos el factor 4: $$\det\big(4A^{25}(A^t)^4\big)=\det\big(4\,M\big),\ \text{donde } M=A^{25}(A^t)^4.$$ Como es una matriz $2\times 2$: $$\det(4M)=4^2\det(M)=16\det(M).$$ Ahora: $$\det(M)=\det(A^{25})\,\det((A^t)^4).$$ Como $\det(A)=1$: $$\det(A^{25})=(\det A)^{25}=1^{25}=1.$$ Además, $$\det((A^t)^4)=(\det(A^t))^4=(\det A)^4=1^4=1.$$ Por tanto: $$\det(M)=1\cdot 1=1.$$ Y finalmente: $$\det\big(4A^{25}(A^t)^4\big)=16\cdot 1=16.$$ Resultado: **$\boxed{16}$**.