Cálculo de un parámetro en una integral definida

**Calcula el valor de $k$ para que $\int_{1}^{3} e^{x-k}(x - 2) dx = 2$.** En primer lugar, observamos que la expresión del exponente $e^{x-k}$ se puede descomponer utilizando las propiedades de las potencias: $$e^{x-k} = e^x \cdot e^{-k}$$ Dado que la integral es respecto a la variable $x$, el término $e^{-k}$ actúa como una constante y puede salir fuera de la integral: $$e^{-k} \int_{1}^{3} (x - 2) e^x dx = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una constante multiplica a toda la función dentro de una integral, puedes extraerla para simplificar los cálculos: $\int a \cdot f(x) dx = a \int f(x) dx$.

Para resolver la integral $\int (x-2) e^x dx$, utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos las funciones $u$ y $dv$ siguiendo la regla ALPES: - Sea $u = x - 2 \implies du = dx$ - Sea $dv = e^x dx \implies v = \int e^x dx = e^x$ Aplicamos la fórmula de integración por partes $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int (x-2) e^x dx = (x-2)e^x - \int e^x dx$$ $$\int (x-2) e^x dx = (x-2)e^x - e^x + C$$ Podemos simplificar sacando factor común $e^x$: $$\int (x-2) e^x dx = e^x(x - 2 - 1) = (x-3)e^x + C$$ 💡 **Tip:** La regla mnemotécnica "Un Valiente Soldado Vestido De Uniforme" ayuda a recordar la fórmula: $u \cdot v - \int v \cdot du$.

Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida entre los límites $1$ y $3$: $$\int_{1}^{3} (x-2) e^x dx = \left[ (x-3)e^x \right]_{1}^{3}$$ Sustituimos los límites de integración: - Para $x = 3$: $(3-3)e^3 = 0 \cdot e^3 = 0$ - Para $x = 1$: $(1-3)e^1 = -2e$ Restamos los valores obtenidos: $$\left[ (x-3)e^x \right]_{1}^{3} = 0 - (-2e) = 2e$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$.

Sustituimos el valor de la integral obtenido en la ecuación original: $$e^{-k} \cdot (2e) = 2$$ Simplificamos la expresión dividiendo ambos miembros entre $2$: $$e^{-k} \cdot e = 1$$ Utilizamos las propiedades de las potencias para agrupar las exponenciales ($e^{-k} \cdot e^1 = e^{1-k}$): $$e^{1-k} = 1$$ Para que una potencia de base $e$ sea igual a $1$, el exponente debe ser $0$: $$1 - k = 0 \implies k = 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{k = 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $e^0 = 1$ y que la función exponencial es inyectiva, por lo que $e^f = e^g \iff f = g$.