Normal paralela a tangente y monotonía de una función logarítmica

Apartado a) [1,5 puntos] Calcula $a\ne 0$ de forma que en el punto $(a,f(a))$ la recta normal a la gráfica de la función $f$ sea paralela a la recta tangente a la gráfica de $g$ en el punto $(a,g(a))$. Partimos de: $$f(x)=\ln\left(\frac{x^2}{e}\right),\qquad g(x)=x^3+2.$$ Derivamos $g$: $$g'(x)=3x^2.$$ Para derivar $f$, simplificamos primero: $$f(x)=\ln(x^2)-\ln(e)=\ln(x^2)-1=2\ln|x|-1\quad (x\ne 0).$$ Entonces: $$f'(x)=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x},\quad x\in(-1,0)\cup(0,1).$$

Apartado a) [1,5 puntos] Calcula $a\ne 0$ de forma que en el punto $(a,f(a))$ la recta normal a la gráfica de la función $f$ sea paralela a la recta tangente a la gráfica de $g$ en el punto $(a,g(a))$. La pendiente de la tangente a $f$ en $x=a$ es: $$m_{\text{tan},f}=f'(a)=\frac{2}{a}.$$ Si $f'(a)\ne 0$ (aquí ocurre siempre porque $a\ne 0$), la pendiente de la normal es la recíproca cambiada de signo: $$m_{\text{nor},f}=-\frac{1}{f'(a)}=-\frac{1}{2/a}=-\frac{a}{2}.$$

Apartado a) [1,5 puntos] Calcula $a\ne 0$ de forma que en el punto $(a,f(a))$ la recta normal a la gráfica de la función $f$ sea paralela a la recta tangente a la gráfica de $g$ en el punto $(a,g(a))$. La pendiente de la tangente a $g$ en $x=a$ es: $$m_{\text{tan},g}=g'(a)=3a^2.$$ Como “normal a $f$” y “tangente a $g$” deben ser paralelas, sus pendientes deben ser iguales: $$m_{\text{nor},f}=m_{\text{tan},g}\Rightarrow -\frac{a}{2}=3a^2.$$

Apartado a) [1,5 puntos] Calcula $a\ne 0$ de forma que en el punto $(a,f(a))$ la recta normal a la gráfica de la función $f$ sea paralela a la recta tangente a la gráfica de $g$ en el punto $(a,g(a))$. Resolvemos: $$-\frac{a}{2}=3a^2.$$ Pasamos todo a un lado: $$3a^2+\frac{a}{2}=0\Rightarrow a\left(3a+\frac{1}{2}\right)=0.$$ Como $a\ne 0$: $$3a+\frac{1}{2}=0\Rightarrow a=-\frac{1}{6}.$$ Comprobación de dominio: $-\frac{1}{6}\in(-1,0)$, luego es válido. Resultado: **$\boxed{a=-\dfrac{1}{6}}$**.

Apartado a) [1,5 puntos] Calcula $a\ne 0$ de forma que en el punto $(a,f(a))$ la recta normal a la gráfica de la función $f$ sea paralela a la recta tangente a la gráfica de $g$ en el punto $(a,g(a))$. Con $a=-\dfrac{1}{6}$: Punto en la gráfica de $f$: $$f\left(-\frac{1}{6}\right)=\ln\left(\frac{(1/36)}{e}\right)=\ln\left(\frac{1}{36e}\right)=-\ln(36e)=-(\ln 36+1).$$ Así: $$\boxed{(a,f(a))=\left(-\frac{1}{6},\,-(\ln 36+1)\right)}.$$ Punto en la gráfica de $g$: $$g\left(-\frac{1}{6}\right)=\left(-\frac{1}{6}\right)^3+2=-\frac{1}{216}+2=\frac{431}{216}.$$ Así: $$\boxed{(a,g(a))=\left(-\frac{1}{6},\,\frac{431}{216}\right)}.$$

Apartado b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$. Recordamos: $$f'(x)=\frac{2}{x},\quad x\in(-1,0)\cup(0,1).$$ Estudio de signo: - Si $x\in(-1,0)$, entonces $x<0$ y $\dfrac{2}{x}<0$; por tanto, $f$ es **decreciente** en $(-1,0)$. - Si $x\in(0,1)$, entonces $x>0$ y $\dfrac{2}{x}>0$; por tanto, $f$ es **creciente** en $(0,1)$. Resultado: - **Decreciente** en **$\boxed{(-1,0)}$**. - **Creciente** en **$\boxed{(0,1)}$**.

Apartados a) y b) En el interactivo se representan $f$ y $g$, se marca $a=-\frac{1}{6}$ y se puede ver que la normal a $f$ en $x=a$ es paralela a la tangente a $g$ en $x=a$.