Cálculo de una primitiva con condición inicial

Para calcular una primitiva de $f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 2}$, primero observamos que se trata de una función racional. Analizamos el denominador $x^2 + 2x + 2 = 0$ para encontrar sus raíces: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2}$$ Como el discriminante es negativo ($"Delta < 0$), el denominador no tiene raíces reales. Esto nos indica que la integral será de tipo **arcotangente**. 💡 **Tip:** Cuando tenemos una integral del tipo $\int \frac{1}{ax^2 + bx + c} dx$ y el denominador no tiene raíces reales, debemos completar cuadrados para obtener la forma $\int \frac{u'}{1 + u^2} dx = \arctan(u) + C$.

Transformamos el denominador $x^2 + 2x + 2$ para que aparezca una expresión de la forma $(x + a)^2 + k$: $$x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1$$ Por lo tanto, podemos reescribir la función como: $$f(x) = \frac{1}{1 + (x + 1)^2}$$ Esta expresión ya se ajusta directamente a la derivada de la función arcotangente, donde $u = x + 1$ y $u' = 1$. $$\boxed{f(x) = \frac{1}{1 + (x + 1)^2}}$$

Calculamos la integral indefinida de la función: $$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{1}{1 + (x + 1)^2} dx$$ Aplicando la fórmula de la primitiva inmediata de la arcotangente: $$F(x) = \arctan(x + 1) + C$$ donde $C$ es la constante de integración. 💡 **Tip:** Recuerda que la integral indefinida representa a todas las funciones cuya derivada es $f(x)$. Para hallar una en concreto, necesitamos la condición del punto por el que pasa. $$\boxed{F(x) = \arctan(x + 1) + C}$$

El enunciado nos pide que la gráfica de la primitiva pase por el punto $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$. Esto significa que: $$F(0) = \frac{\pi}{4}$$ Sustituimos $x = 0$ en nuestra expresión de $F(x)$: $$F(0) = \arctan(0 + 1) + C = \frac{\pi}{4}$$ $$\arctan(1) + C = \frac{\pi}{4}$$ Sabemos que $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ (ya que $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$): $$\frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4}$$ $$C = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$$ Por tanto, la constante de integración es **$C = 0$**. 💡 **Tip:** Asegúrate de trabajar en radianes siempre que realices cálculos con funciones trigonométricas e integrales.

Sustituyendo el valor de $C$ obtenido en la expresión de la primitiva, tenemos la función buscada: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = \arctan(x + 1)}$$