Límite con parámetros y regla de L'Hôpital

Para resolver el límite, primero evaluamos la expresión en $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(0) - a(0) + 2 - 2 \cos(0)}{e^0 - 0 \cdot \cos(0) - 1} = \frac{0 - 0 + 2 - 2(1)}{1 - 0 - 1} = \frac{0}{0}$$ Se trata de una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. Derivamos el numerador: $N'(x) = (\operatorname{sen}(x) - ax + 2 - 2 \cos(x))' = \cos(x) - a + 2 \operatorname{sen}(x)$ Derivamos el denominador (aplicando la regla del producto para $x \cos(x)$): $D'(x) = (e^x - x \cos(x) - 1)' = e^x - (1 \cdot \cos(x) + x(-\operatorname{sen}(x))) = e^x - \cos(x) + x \operatorname{sen}(x)$ 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar L'Hôpital debemos estar ante una indeterminación $0/0$ o $\infty/\infty$ y las funciones deben ser derivables en un entorno del punto.

Planteamos el nuevo límite tras la primera derivada: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - a + 2 \operatorname{sen}(x)}{e^x - \cos(x) + x \operatorname{sen}(x)}$$ Evaluamos el denominador en $x = 0$: $$D'(0) = e^0 - \cos(0) + 0 \cdot \operatorname{sen}(0) = 1 - 1 + 0 = 0.$$ Para que el límite sea **finito**, dado que el denominador tiende a $0$, es necesario que el numerador también tienda a $0$ en $x = 0$ (si el numerador fuera distinto de cero, el límite resultaría en $\pm\infty$). Por tanto, imponemos $N'(0) = 0$: $$\cos(0) - a + 2 \operatorname{sen}(0) = 0 \implies 1 - a + 0 = 0 \implies a = 1.$$ 💡 **Tip:** Si el denominador de una fracción tiende a $0$, la única forma de que el límite no sea infinito es que el numerador también tienda a $0$ para mantener la indeterminación y poder seguir simplificando o aplicando L'Hôpital. ✅ **Resultado (parámetro):** $$\boxed{a = 1}$$

Sustituimos $a = 1$ en la expresión derivada y resolvemos la indeterminación $\frac{0}{0}$ aplicando la regla de L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1 + 2 \operatorname{sen}(x)}{e^x - \cos(x) + x \operatorname{sen}(x)}$$ Derivamos de nuevo el numerador: $N''(x) = (\cos(x) - 1 + 2 \operatorname{sen}(x))' = -\operatorname{sen}(x) + 2 \cos(x)$ Derivamos de nuevo el denominador: $D''(x) = (e^x - \cos(x) + x \operatorname{sen}(x))' = e^x + \operatorname{sen}(x) + (\operatorname{sen}(x) + x \cos(x)) = e^x + 2 \operatorname{sen}(x) + x \cos(x)$ Calculamos el límite evaluando en $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\operatorname{sen}(x) + 2 \cos(x)}{e^x + 2 \operatorname{sen}(x) + x \cos(x)} = \frac{-\operatorname{sen}(0) + 2 \cos(0)}{e^0 + 2 \operatorname{sen}(0) + 0 \cdot \cos(0)} = \frac{0 + 2(1)}{1 + 0 + 0} = \frac{2}{1} = 2.$$ ✅ **Resultado (valor del límite):** $$\boxed{L = 2}$$