Sistema de ecuaciones: Problema de compras y rebajas

**¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa?** Para comprobar si el precio del jersey ($x$) es único, trabajamos con el sistema de dos ecuaciones iniciales: 1) $x + y + z = 80$ 2) $3x = y + z$ (multiplicando la segunda relación original por $3$) Sustituimos la expresión de $(y + z)$ de la segunda ecuación en la primera: $$x + (3x) = 80$$ $$4x = 80$$ $$x = \frac{80}{4} = 20€$$ Como hemos obtenido un valor numérico concreto para $x$ independientemente de los valores individuales de $y$ y $z$, **sí es posible determinar de forma única el precio del jersey, que es de $20€$**. 💡 **Tip:** En sistemas con más incógnitas que ecuaciones, a veces es posible despejar una variable si las demás aparecen agrupadas de la misma forma en todas las ecuaciones.

Para la camisa ($y$), sabemos que debe cumplir la relación $y + z = 3x$. Sustituyendo $x = 20$: $$y + z = 3(20) \Rightarrow y + z = 60$$ Tenemos una única ecuación con dos incógnitas ($y$ y $z$). Matemáticamente, este sistema tiene **infinitas soluciones** (grados de libertad), ya que cualquier combinación de precios que sume $60€$ (como $y=30, z=30$ o $y=40, z=20$) satisfaría las condiciones iniciales. Por lo tanto, **no es posible determinar de forma única el precio de la camisa** con la información dada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Jersey: } 20€ \text{ (Único) } | \text{ Camisa: No determinado (Infinitas soluciones)}}$$

**Calcula el precio de cada prenda antes de las rebajas.** En este apartado introducimos los descuentos para obtener una tercera ecuación: - Descuento del $30\%$ en el jersey: precio final $= 0,7x$ - Descuento del $40\%$ en la camisa: precio final $= 0,6y$ - Descuento del $20\%$ en el pantalón: precio final $= 0,8z$ El gasto total fue de $57€$, por lo que: $$0,7x + 0,6y + 0,8z = 57$$ Sustituimos el valor conocido $x = 20$: $$0,7(20) + 0,6y + 0,8z = 57$$ $$14 + 0,6y + 0,8z = 57$$ $$0,6y + 0,8z = 43$$ 💡 **Tip:** Recuerda que aplicar un descuento del $r\%$ equivale a multiplicar por $(1 - r/100)$.

Ahora combinamos la ecuación de las rebajas con la relación que obtuvimos en el apartado anterior: $$\begin{cases} y + z = 60 \\ 0,6y + 0,8z = 43 \end{cases}$$ Despejamos $y$ de la primera: $y = 60 - z$. Sustituimos en la segunda: $$0,6(60 - z) + 0,8z = 43$$ $$36 - 0,6z + 0,8z = 43$$ $$0,2z = 43 - 36$$ $$0,2z = 7$$ $$z = \frac{7}{0,2} = 35€$$ Calculamos $y$: $$y = 60 - 35 = 25€$$ Para visualizar la solución, representamos las dos rectas del sistema donde el eje $x$ es el precio del pantalón ($z$) y el eje $y$ el de la camisa ($y$):

Una vez resuelto el sistema, tenemos los tres precios originales antes de aplicar los descuentos. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Jersey: } & 20€ \\ \text{Camisa: } & 25€ \\ \text{Pantalón: } & 35€ \end{aligned}}$$