Sistemas de ecuaciones con números naturales

**EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?** En primer lugar, definimos las variables que representarán a los tres números naturales: - Sean $x, y, z \in \mathbb{N}$ el primer, segundo y tercer número respectivamente. Traducimos el enunciado a un sistema de ecuaciones lineales: 1) La suma de los tres es 22: $x + y + z = 22$ 2) Cuatro veces el primero ($4x$) más el triple del segundo ($3y$) más el doble del tercero ($2z$) es 61: $4x + 3y + 2z = 61$ Tenemos el siguiente sistema: $$\begin{cases} x + y + z = 22 \\ 4x + 3y + 2z = 61 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los números naturales son $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$. Al resolver el sistema, debemos asegurar que las soluciones sean valores enteros no negativos.

Como tenemos un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, el sistema es **compatible indeterminado** (tiene infinitas soluciones en $\mathbb{R}$, pero limitadas en $\mathbb{N}$). Vamos a expresar $y$ y $z$ en función de $x$ utilizando el método de reducción o sustitución. Multiplicamos la primera ecuación por 2: $$2x + 2y + 2z = 44$$ Restamos esta ecuación a la segunda: $$(4x + 3y + 2z) - (2x + 2y + 2z) = 61 - 44$$ $$2x + y = 17 \implies \mathbf{y = 17 - 2x}$$ Ahora sustituimos $y$ en la primera ecuación para hallar $z$: $$x + (17 - 2x) + z = 22$$ $$-x + 17 + z = 22 \implies \mathbf{z = x + 5}$$ 💡 **Tip:** Al parametrizar el sistema, es más sencillo analizar las restricciones de los números naturales.

Comprobamos si alguna de las variables puede tomar el valor 15: - **Caso $x = 15$:** Si $x = 15$, entonces $y = 17 - 2(15) = 17 - 30 = -13$. Como $-13 \notin \mathbb{N}$, el primer número no puede ser 15. - **Caso $y = 15$:** Si $y = 15$, usamos la relación $y = 17 - 2x$: $15 = 17 - 2x \implies 2x = 2 \implies \mathbf{x = 1}$. Calculamos $z$: $z = x + 5 = 1 + 5 \implies \mathbf{z = 6}$. Los números $\{1, 15, 6\}$ son naturales y cumplen las ecuaciones. **Sí es posible**. - **Caso $z = 15$:** Si $z = 15$, entonces $x = z - 5 = 15 - 5 = 10$. Calculamos $y$: $y = 17 - 2(10) = 17 - 20 = -3$. Como $-3 \notin \mathbb{N}$, el tercer número no puede ser 15. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, los otros números son 1 y 6}}$$

Para encontrar todas las soluciones posibles, aplicamos la condición de que $x, y, z$ deben ser naturales ($x, y, z \ge 0$): 1) $x \ge 0$ 2) $y \ge 0 \implies 17 - 2x \ge 0 \implies 17 \ge 2x \implies x \le 8,5$ 3) $z \ge 0 \implies x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5$ (se cumple siempre que $x \ge 0$) Por tanto, $x$ puede tomar cualquier valor entero entre 0 y 8. Esto genera un total de **9 soluciones posibles**. Listado de todas las opciones $(x, y, z)$: - Si $x=0 \implies (0, 17, 5)$ - Si $x=1 \implies (1, 15, 6)$ (la calculada antes) - Si $x=2 \implies (2, 13, 7)$ - Si $x=3 \implies (3, 11, 8)$ - Si $x=4 \implies (4, 9, 9)$ - Si $x=5 \implies (5, 7, 10)$ - Si $x=6 \implies (6, 5, 11)$ - Si $x=7 \implies (7, 3, 12)$ - Si $x=8 \implies (8, 1, 13)$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Existen otras 8 opciones además de la anterior, haciendo un total de 9}}$$