Distribución normal: porcentaje sancionado y desviación típica a partir de un cuantil

Apartado a) [1 punto] En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media 64 km/h y desviación típica 4 km/h. Si el radar de control salta a partir de 72 km/h, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan? Sea $X\sim\mathcal{N}(64,4)$ (media 64 y desviación típica 4). Queremos: $$P(X\ge 72).$$ Tipificamos: $$Z=\frac{X-64}{4}\sim\mathcal{N}(0,1).$$ Entonces: $$P(X\ge 72)=P\left(Z\ge \frac{72-64}{4}\right)=P(Z\ge 2).$$ Con la tabla de la normal: $$P(Z\ge 2)=1-\Phi(2).$$ Como $\Phi(2)\approx 0.9772$: $$P(Z\ge 2)\approx 1-0.9772=0.0228.$$ Porcentaje sancionado: **$\boxed{0.0228\approx 2.28\%}$**.

Apartado b) [1,5 puntos] En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de 63,6 km/h y que el 5,05 % de todos los vehículos viaja a más de 80 km/h. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica? Sea $Y\sim\mathcal{N}(63.6,\sigma)$. Nos dicen: $$P(Y>80)=0.0505.$$ Entonces: $$P(Y\le 80)=1-0.0505=0.9495.$$ Tipificamos: $$Z=\frac{Y-63.6}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1).$$ Luego: $$P\left(Z\le \frac{80-63.6}{\sigma}\right)=0.9495.$$ Buscamos $z$ tal que $\Phi(z)=0.9495$. De la tabla: $$z\approx 1.64.$$ Así: $$\frac{80-63.6}{\sigma}=1.64\Rightarrow \frac{16.4}{\sigma}=1.64\Rightarrow \sigma=\frac{16.4}{1.64}=10.$$ Desviación típica: **$\boxed{\sigma=10\ \text{km/h}}$**.