Probabilidad e ITV: Análisis mediante tabla de contingencia

Para resolver este ejercicio de probabilidad, lo más eficiente es completar la tabla de contingencia calculando los totales por filas y por columnas. Definimos los sucesos: - $C$: El vehículo es un coche. - $M$: El vehículo es una moto. - $A$: El vehículo ha resultado apto. - $\bar{A}$: El vehículo ha resultado no apto. Sumamos las filas y columnas: $$\begin{array}{c|c|c|c} & \text{Coches (C)} & \text{Motos (M)} & \text{Total} \\ \hline \text{Aptos (A)} & 116.383 & 160.667 & 277.050 \\ \text{No aptos (}\bar{A}\text{)} & 2.679 & 3.447 & 6.126 \\ \hline \text{Total} & 119.062 & 164.114 & 283.176 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Completar los totales marginales es el primer paso fundamental en problemas de tablas de contingencia, ya que nos proporcionan los denominadores de las probabilidades.

**a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto?** Nos piden calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos: $P(M \cup A)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(M \cup A) = P(M) + P(A) - P(M \cap A)$$ Extraemos los datos de nuestra tabla: - Total de vehículos: $283.176$ - Total de motos ($M$): $164.114$ - Total de aptos ($A$): $277.050$ - Intersección de motos y aptos ($M \cap A$): $160.667$ Sustituimos en la fórmula: $$P(M \cup A) = \frac{164.114}{283.176} + \frac{277.050}{283.176} - \frac{160.667}{283.176}$$ $$P(M \cup A) = \frac{164.114 + 277.050 - 160.667}{283.176} = \frac{280.497}{283.176} \approx 0,9905$$ 💡 **Tip:** La unión $P(M \cup A)$ incluye todos los casos que cumplen al menos una de las dos condiciones. Restamos la intersección para no contar dos veces a las motos que son aptas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M \cup A) = \frac{280.497}{283.176} \approx 0,9905}$$

**b) [1,25 puntos] Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto?** Este apartado nos pide una probabilidad condicionada. Sabemos con certeza que el vehículo es un coche ($C$), y queremos saber la probabilidad de que sea no apto ($\bar{A}$). La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(\bar{A} | C) = \frac{P(\bar{A} \cap C)}{P(C)}$$ De la tabla obtenemos: - Coches que son no aptos ($\bar{A} \cap C$): $2.679$ - Total de coches ($C$): $119.062$ Sustituimos directamente (restringiendo nuestro espacio muestral solo a la columna de coches): $$P(\bar{A} | C) = \frac{2.679}{119.062} \approx 0,0225$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, la probabilidad condicionada $P(X|Y)$ se calcula dividiendo el valor de la celda de intersección entre el total de la fila o columna de la condición $Y$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} | C) = \frac{2.679}{119.062} \approx 0,0225}$$