Límite con parámetros y Regla de L'Hôpital

Al evaluar el límite en $x=0$, observamos que tanto el numerador como el denominador se anulan: - Numerador: $0\cdot\sin(0) + a(e^0-1) + \sin(0) = 0 + a(1-1) + 0 = 0$ - Denominador: $b(0)^2 + 0 - \sin(0) = 0$ Tenemos una indeterminación de la forma **$0/0$**, por lo que podemos aplicar la **Regla de L'Hôpital**.

Derivamos el numerador ($N$) y el denominador ($D$): - $N'(x) = \sin(x) + x\cos(x) + ae^x + \cos(x)$ - $D'(x) = 2bx + 1 - \cos(x)$ El límite es ahora: $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x) + x\cos(x) + ae^x + \cos(x)}{2bx + 1 - \cos(x)}$$ En $x=0$, el denominador sigue siendo $1-\cos(0) = 0$. Para que el límite pueda ser igual a 1 (y no infinito), el numerador debe ser también 0 en $x=0$: $$N'(0) = 0 + 0 + a(1) + 1 = a + 1 = 0 \implies a = -1$$

Sustituimos $a = -1$. El límite vuelve a ser una indeterminación $0/0$. Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: - $N''(x) = \cos(x) + \cos(x) - x\sin(x) - e^x - \sin(x) = 2\cos(x) - x\sin(x) - e^x - \sin(x)$ - $D''(x) = 2b + \sin(x)$ Evaluamos el límite cuando $x \to 0$: $$\lim_{x\to 0} \frac{2\cos(x) - x\sin(x) - e^x - \sin(x)}{2b + \sin(x)} = \frac{2(1) - 0 - 1 - 0}{2b + 0} = \frac{1}{2b}$$ Igualamos el resultado al valor del límite dado (1): $$\frac{1}{2b} = 1 \implies 2b = 1 \implies b = \frac{1}{2}$$ Los valores buscados son **$a = -1$** y **$b = 1/2$**.