Cálculo de una función a partir de su segunda derivada

Para hallar $f(x)$, debemos integrar sucesivamente su segunda derivada $f''(x)$. Sabemos que $f'(x) = \int f''(x) \, dx$. Sustituimos la expresión dada: $$f'(x) = \int \left( e^{x-1} - \frac{1}{x} \right) dx$$ Integramos cada término por separado: - La integral de $e^{x-1}$ es $e^{x-1}$ (ya que la derivada del exponente es 1). - La integral de $\frac{1}{x}$ es $\ln|x|$. Como el dominio es $(0, +\infty)$, podemos escribir $\ln(x)$. $$f'(x) = e^{x-1} - \ln(x) + C_1$$ Donde $C_1$ es una constante de integración real. 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$. En este ejercicio, al estar definida la función en $(0, +\infty)$, el valor absoluto no es necesario.

Ahora integramos $f'(x)$ para obtener $f(x)$: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (e^{x-1} - \ln(x) + C_1) dx$$ Calculamos las integrales: 1. $\int e^{x-1} dx = e^{x-1}$. 2. $\int C_1 dx = C_1 x$. 3. $\int \ln(x) dx$: Esta integral se resuelve por partes. **Integración por partes para $\ln(x)$:** Sea $u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx$ Sea $dv = dx \Rightarrow v = x$ $$\int \ln(x) dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x\ln(x) - \int 1 dx = x\ln(x) - x$$ Sustituimos todo en la expresión de $f(x)$: $$f(x) = e^{x-1} - (x\ln(x) - x) + C_1 x + C_2$$ $$f(x) = e^{x-1} - x\ln(x) + x + C_1 x + C_2$$ Agrupando los términos con $x$: $$f(x) = e^{x-1} - x\ln(x) + (1 + C_1)x + C_2$$ 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Utilizamos el punto $(1, 0)$, lo que significa que $f(1) = 0$: $$f(1) = e^{1-1} - 1 \cdot \ln(1) + (1 + C_1) \cdot 1 + C_2 = 0$$ Como $e^0 = 1$ y $\ln(1) = 0$: $$1 - 0 + 1 + C_1 + C_2 = 0$$ $$2 + C_1 + C_2 = 0 \implies C_1 + C_2 = -2$$ Tenemos nuestra primera ecuación con las constantes.

Utilizamos el punto $(2, e - 2 - 2\ln(2))$, lo que significa que $f(2) = e - 2 - 2\ln(2)$: $$f(2) = e^{2-1} - 2\ln(2) + (1 + C_1) \cdot 2 + C_2 = e - 2 - 2\ln(2)$$ Simplificamos la expresión: $$e - 2\ln(2) + 2 + 2C_1 + C_2 = e - 2 - 2\ln(2)$$ Cancelamos los términos iguales en ambos lados ($e$ y $-2\ln(2)$): $$2 + 2C_1 + C_2 = -2$$ $$2C_1 + C_2 = -4$$ Tenemos nuestra segunda ecuación.

Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} C_1 + C_2 = -2 \\ 2C_1 + C_2 = -4 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $C_2$: $$(2C_1 + C_2) - (C_1 + C_2) = -4 - (-2)$$ $$C_1 = -2$$ Sustituimos $C_1 = -2$ en la primera ecuación: $$-2 + C_2 = -2 \implies C_2 = 0$$ Ahora sustituimos los valores de $C_1$ y $C_2$ en la expresión general de $f(x)$: $$f(x) = e^{x-1} - x\ln(x) + (1 + (-2))x + 0$$ $$f(x) = e^{x-1} - x\ln(x) - x$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = e^{x-1} - x\ln(x) - x}$$