Geometría en el espacio: planos y rectas perpendiculares

**a) [1 punto] Halla el plano que pasa por el punto $P$ y contiene a la recta $r$.** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). Como el plano debe contener a la recta $r$, podemos extraer de su ecuación continua: - Un punto de la recta: $A(1, 2, 3)$ - El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (1, 2, 2)$ Además, el plano pasa por $P(1, 1, 1)$. El segundo vector director del plano será el vector que une el punto $A$ de la recta con el punto $P$: $$\vec{AP} = P - A = (1 - 1, 1 - 2, 1 - 3) = (0, -1, -2)$$ 💡 **Tip:** Si un plano contiene a una recta, el vector director de la recta y cualquier vector formado por un punto de la recta y un punto del plano son vectores directores del plano.

Para hallar el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$, calculamos el producto vectorial de los dos vectores directores hallados: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus (o desarrollo por la primera fila): $$\vec{n}_\pi = \vec{i} \cdot [2 \cdot (-2) - 2 \cdot (-1)] - \vec{j} \cdot [1 \cdot (-2) - 2 \cdot 0] + \vec{k} \cdot [1 \cdot (-1) - 2 \cdot 0]$$ $$\vec{n}_\pi = \vec{i} \cdot (-4 + 2) - \vec{j} \cdot (-2) + \vec{k} \cdot (-1)$$ $$\vec{n}_\pi = (-2, 2, -1)$$ Podemos usar como vector normal $\vec{n}_\pi = (2, -2, 1)$ multiplicando por $-1$ para simplificar signos. $$\boxed{\vec{n}_\pi = (2, -2, 1)}$$

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando el vector normal: $$2x - 2y + z + D = 0$$ Como el plano pasa por $P(1, 1, 1)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$2(1) - 2(1) + 1 + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ ✅ **Resultado (Plano):** $$\boxed{\pi \equiv 2x - 2y + z - 1 = 0}$$

**b) [1,5 puntos] Halla la recta que pasa por el punto $P$ y corta perpendicularmente a la recta $r$.** Para que la recta buscada $s$ corte perpendicularmente a $r$, debe pasar por $P$ y por un punto $M$ de la recta $r$ tal que el vector $\vec{PM}$ sea perpendicular a $\vec{v}_r$. Este punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$. Para hallarlo, construiremos un **plano auxiliar $\pi'$** que sea perpendicular a $r$ y pase por $P$. El punto $M$ será la intersección de este plano con la recta $r$. El vector normal de $\pi'$ será el vector director de $r$: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r = (1, 2, 2)$$ La ecuación de $\pi'$ es: $$1x + 2y + 2z + D' = 0$$ Sustituimos $P(1, 1, 1)$: $$1(1) + 2(1) + 2(1) + D' = 0 \implies 5 + D' = 0 \implies D' = -5$$ $$\pi' \equiv x + 2y + 2z - 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Una recta $s$ corta perpendicularmente a $r$ si el vector director de $s$ es perpendicular al de $r$ y ambas rectas se intersecan en un punto.

Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas para hallar la intersección con el plano $\pi'$: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $x + 2y + 2z - 5 = 0$: $$(1 + \lambda) + 2(2 + 2\lambda) + 2(3 + 2\lambda) - 5 = 0$$ $$1 + \lambda + 4 + 4\lambda + 6 + 4\lambda - 5 = 0$$ $$9\lambda + 6 = 0 \implies \lambda = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$$ Calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = -2/3$: $$x_M = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}; \quad y_M = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}; \quad z_M = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$$ $$M\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right)$$

La recta $s$ pasa por $P(1, 1, 1)$ y $M(1/3, 2/3, 5/3)$. Su vector director es $\vec{v}_s = \vec{MP}$: $$\vec{v}_s = P - M = \left(1 - \frac{1}{3}, 1 - \frac{2}{3}, 1 - \frac{5}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right)$$ Podemos simplificar el vector multiplicando por 3: $\vec{v}_s = (2, 1, -2)$. La ecuación continua de la recta $s$ es: $$s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-2}$$ ✅ **Resultado (Recta):** $$\boxed{s \equiv \frac{x - 1}{2} = y - 1 = \frac{z - 1}{-2}}$$