Posición relativa de dos rectas y plano que contiene una recta y una perpendicular común

**a) [1 punto] Estudia la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.** Para $r$: $$\frac{x+1}{4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-2}{-1}=t$$ $$x=-1+4t,\quad y=-2+3t,\quad z=2-t.$$ Un punto y un vector director: $$P_r(-1,-2,2),\quad \vec v_r=(4,3,-1).$$ Para $s$: $$x=1-\lambda,\quad y=2+\lambda,\quad z=-3-2\lambda.$$ Un punto y un vector director: $$P_s(1,2,-3),\quad \vec v_s=(-1,1,-2).$$ 💡 **Tip:** Para estudiar posición relativa, necesitas siempre: (1) un punto de cada recta y (2) su vector director. **Datos de trabajo:** $$\boxed{P_r(-1,-2,2),\ \vec v_r=(4,3,-1)\qquad\text{y}\qquad P_s(1,2,-3),\ \vec v_s=(-1,1,-2)}$$

Las rectas serían paralelas si $\vec v_r$ fuera proporcional a $\vec v_s$. Comprobamos: $$\frac{4}{-1}=-4,\quad \frac{3}{1}=3,\quad \frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}.$$ Como no coinciden, no son proporcionales, luego **$r$ y $s$ no son paralelas**. 💡 **Tip:** Dos rectas en el espacio son paralelas si y solo si sus vectores directores son proporcionales. **Comprobación paralelismo:** $$\boxed{\vec v_r\not\parallel\vec v_s\ \Rightarrow\ r\not\parallel s}$$

Igualamos las paramétricas: $$\begin{cases} -1+4t=1-\lambda,\\ -2+3t=2+\lambda,\\ 2-t=-3-2\lambda. \end{cases}$$ De la primera: $$\lambda=2-4t.$$ De la segunda: $$\lambda=-4+3t.$$ Igualamos: $$2-4t=-4+3t\ \Rightarrow\ 6=7t\ \Rightarrow\ t=\frac{6}{7}.$$ Entonces: $$\lambda=-4+3\cdot\frac{6}{7}=-\frac{10}{7}.$$ Comprobamos en la tercera: $$2-t=2-\frac{6}{7}=\frac{8}{7},$$ $$-3-2\lambda=-3-2\left(-\frac{10}{7}\right)=-3+\frac{20}{7}=-\frac{1}{7}.$$ No coinciden, así que **no se cortan**. 💡 **Tip:** Para que dos rectas se corten, debe existir una pareja de parámetros $(t,\lambda)$ que haga coincidir **las tres** coordenadas. **Comprobación intersección:** $$\boxed{r\cap s=\varnothing}$$

Como **no son paralelas** y **no se cortan**, las rectas $r$ y $s$ son **rectas se cruzan (reversas)**. 💡 **Tip:** En $\mathbb{R}^3$ hay tres casos: (1) se cortan, (2) son paralelas, (3) son cruzadas (no se cortan ni son paralelas). ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{r\ \text{y}\ s\ \text{son rectas cruzadas}}$$

**b) [1,5 puntos] Halla la ecuación de un plano que contiene a $r$ y a una recta perpendicular a las rectas $r$ y $s$.** Una recta perpendicular a $r$ y a $s$ debe tener un vector director perpendicular a $\vec v_r$ y a $\vec v_s$. Un vector con esa propiedad se obtiene con el producto vectorial: $$\vec n=\vec v_r\times\vec v_s.$$ Con $\vec v_r=(4,3,-1)$ y $\vec v_s=(-1,1,-2)$, montamos el determinante del producto vectorial: $$ \vec n= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 4 & 3 & -1\\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix}. $$ Calculamos **componente a componente** (menores $2\times 2$): $$ \begin{aligned} n_x&=\begin{vmatrix}3 & -1\\ 1 & -2\end{vmatrix}=3\cdot(-2)-(-1)\cdot 1=-6+1=-5,\\[4pt] n_y&=-\begin{vmatrix}4 & -1\\ -1 & -2\end{vmatrix}=-\Big(4\cdot(-2)-(-1)\cdot(-1)\Big)=-(-8-1)=9,\\[4pt] n_z&=\begin{vmatrix}4 & 3\\ -1 & 1\end{vmatrix}=4\cdot 1-3\cdot(-1)=4+3=7. \end{aligned} $$ Por tanto, $$\vec n=(n_x,n_y,n_z)=(-5,9,7).$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec a\times\vec b$ siempre da un vector perpendicular a $\vec a$ y a $\vec b$. Es el método estándar para obtener la **dirección** de una perpendicular común. **Dirección perpendicular a ambas:** $$\boxed{\vec n=(-5,9,7)}$$

El plano buscado contiene: - la recta $r$ (por tanto contiene el vector $\vec v_r$), - y además contiene una recta de dirección $\vec n$. Así, el plano está generado por los vectores $\vec v_r$ y $\vec n$, y su vector normal es $$\vec N=\vec v_r\times \vec n.$$ Calculamos: $$\vec N=(4,3,-1)\times(-5,9,7)=(30,-23,51).$$ Tomamos un punto de $r$, por ejemplo $P_r(-1,-2,2)$. Ecuación punto-normal: $$30(x+1)-23(y+2)+51(z-2)=0.$$ Desarrollando: $$30x-23y+51z-118=0.$$ 💡 **Tip:** Para un plano: si conoces un punto $P_0(x_0,y_0,z_0)$ y un normal $\vec N=(A,B,C)$, usa $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{30x-23y+51z-118=0}$$