Volumen de un tetraedro y distancia de un punto a un plano

**a) [1,25 puntos] Halla los valores de $m$ para que el tetraedro determinado por los puntos $O, A, B$ y $C$ tenga un volumen de 3 unidades cúbicas.** El volumen de un tetraedro definido por cuatro puntos $O, A, B$ y $C$ se calcula como la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los vectores que parten de uno de sus vértices (en este caso, el origen $O$): $$V = \frac{1}{6} |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]|$$ Calculamos los vectores tomando el origen $O(0,0,0)$ como referencia: $$\vec{OA} = (0, 2, -2)$$ $$\vec{OB} = (1, 2, m)$$ $$\vec{OC} = (2, 3, 2)$$ 💡 **Tip:** El producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ coincide con el determinante de la matriz formada por las coordenadas de los tres vectores.

Calculamos el determinante de la matriz formada por los vectores $\vec{OA}, \vec{OB}$ y $\vec{OC}$ utilizando la regla de Sarrus: $$\det(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}) = \begin{vmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & m \\ 2 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\text{Det} = (0 \cdot 2 \cdot 2) + (2 \cdot m \cdot 2) + (-2 \cdot 1 \cdot 3) - [(-2 \cdot 2 \cdot 2) + (0 \cdot m \cdot 3) + (2 \cdot 1 \cdot 2)]$$ $$\text{Det} = (0 + 4m - 6) - (-8 + 0 + 4)$$ $$\text{Det} = 4m - 6 - (-4) = 4m - 6 + 4 = 4m - 2$$ Por tanto, el producto mixto es: $$[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = 4m - 2$$

Igualamos la fórmula del volumen al valor dado en el enunciado ($V = 3$): $$V = \frac{1}{6} |4m - 2| = 3$$ $$|4m - 2| = 18$$ Esta ecuación con valor absoluto genera dos posibles soluciones: 1. **Caso 1:** $4m - 2 = 18$ $$4m = 20 \implies m = 5$$ 2. **Caso 2:** $4m - 2 = -18$ $$4m = -16 \implies m = -4$$ ✅ **Resultado (valores de m):** $$\boxed{m = 5, \quad m = -4}$$

**b) [1,25 puntos] Para $m = 0$, calcula la distancia del punto $O$ al plano que pasa por los puntos $A, B$ y $C$.** Primero, determinamos la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $A(0, 2, -2)$, $B(1, 2, 0)$ (ya que $m=0$) y $C(2, 3, 2)$. Obtenemos dos vectores directores del plano: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 0, 2 - 2, 0 - (-2)) = (1, 0, 2)$$ $$\vec{AC} = C - A = (2 - 0, 3 - 2, 2 - (-2)) = (2, 1, 4)$$ El vector normal al plano, $\vec{n_\pi}$, se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{n_\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n_\pi} = (0 \vec{i} + 4 \vec{j} + 1 \vec{k}) - (0 \vec{k} + 2 \vec{i} + 4 \vec{j}) = -2 \vec{i} + 0 \vec{j} + 1 \vec{k}$$ $$\vec{n_\pi} = (-2, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define los coeficientes de la ecuación implícita del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación del plano es de la forma $-2x + 0y + 1z + D = 0$, es decir, $-2x + z + D = 0$. Para hallar $D$, sustituimos las coordenadas de cualquiera de los puntos, por ejemplo el punto $A(0, 2, -2)$: $$-2(0) + (-2) + D = 0 \implies -2 + D = 0 \implies D = 2$$ Por tanto, la ecuación del plano $\pi$ es: $$\pi: -2x + z + 2 = 0 \iff 2x - z - 2 = 0$$

Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, el punto es $O(0, 0, 0)$ y el plano es $2x - z - 2 = 0$: $$d(O, \pi) = \frac{|2(0) + 0(0) - 1(0) - 2|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2}}$$ $$d(O, \pi) = \frac{|-2|}{\sqrt{4 + 0 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(O, \pi) = \frac{2\sqrt{5}}{5} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(O, \pi) = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0,894 \text{ u}}$$