Recta intersección de planos y plano paralelo: parámetro y distancia

Apartado a) [1,5 puntos] Halla $m$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos. La recta $r$ es la intersección de los planos: $$\pi_1: x-y+z=3,\qquad \pi_2: x+2y-z=4.$$ Sus vectores normales son: $$\vec n_1=(1,-1,1),\quad \vec n_2=(1,2,-1).$$ Un vector director de $r$ es el producto vectorial: $$\vec v=\vec n_1\times \vec n_2.$$ Calculamos: $$\vec v=(1,-1,1)\times(1,2,-1)=(-1,2,3).$$

Apartado a) [1,5 puntos] Halla $m$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos. El plano $\pi: mx-y-2z=5$ tiene vector normal: $$\vec n_{\pi}=(m,-1,-2).$$ Una recta es paralela a un plano si su vector director es perpendicular al normal del plano: $$\vec v\cdot \vec n_{\pi}=0.$$ Sustituimos $\vec v=(-1,2,3)$: $$(-1,2,3)\cdot(m,-1,-2)=-m+2(-1)+3(-2)=-m-2-6=-m-8=0.$$ Luego: $$m=-8.$$ Resultado: **$\boxed{m=-8}$**.

Apartado b) [1 punto] Para $m=-8$, calcula la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$. Como para $m=-8$ la recta es paralela al plano, la distancia recta-plano es la distancia de cualquier punto de $r$ al plano. Buscamos un punto de $r$ resolviendo: $$\begin{cases} x-y+z=3,\\ x+2y-z=4. \end{cases}$$ Tomamos $y=1$: - De $x-y+z=3$: $x+z=4$. - De $x+2y-z=4$: $x-z=2$. Sumando: $2x=6\Rightarrow x=3$ y entonces $z=1$. Un punto de $r$ es: $$Q(3,1,1).$$

Apartado b) [1 punto] Para $m=-8$, calcula la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$. Para $m=-8$, el plano es: $$-8x-y-2z=5\quad\Longleftrightarrow\quad -8x-y-2z-5=0.$$ La distancia de $Q(x_0,y_0,z_0)$ al plano $Ax+By+Cz+D=0$ es: $$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ Aquí $A=-8$, $B=-1$, $C=-2$, $D=-5$ y $Q(3,1,1)$: $$d=\frac{|(-8)\cdot 3+(-1)\cdot 1+(-2)\cdot 1-5|}{\sqrt{(-8)^2+(-1)^2+(-2)^2}}=\frac{| -24-1-2-5|}{\sqrt{64+1+4}}=\frac{32}{\sqrt{69}}.$$ Resultado: **$\boxed{d=\dfrac{32}{\sqrt{69}}}$**.