Estudio de función logarítmica con parámetros

**a) [1 punto] Calcula $a$ para que $y = 1$ sea una asíntota horizontal de la gráfica de $f$.** Recordemos que una función tiene una asíntota horizontal en $y = L$ si el límite de la función cuando $x \to +\infty$ (o $x \to -\infty$) es igual a $L$. En este caso, el dominio es $(0, +\infty)$, por lo que estudiamos el límite cuando $x \to +\infty$. Calculamos el límite: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( a + \frac{\ln(x)}{x^2} \right) = a + \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$$ Observamos que el límite $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$ presenta una indeterminación del tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2x^2} = 0$$ Por tanto, el límite de la función es: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = a + 0 = a$$ Para que $y = 1$ sea la asíntota horizontal, se debe cumplir que $a = 1$. 💡 **Tip:** Si el límite de una función en el infinito es un número real $k$, entonces $y=k$ es la ecuación de su asíntota horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$

**b) [1,5 puntos] Para $a = 0$, calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Estudia y halla los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Si $a = 0$, la función es $f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$. Para estudiar la monotonía y los extremos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x^2 - \ln x \cdot (x^2)'}{(x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x \ln x}{x^4}$$ Simplificamos factorizando $x$ en el numerador (sabiendo que $x > 0$): $$f'(x) = \frac{x(1 - 2 \ln x)}{x^4} = \frac{1 - 2 \ln x}{x^3}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En este caso $u = \ln x$ y $v = x^2$. $$\boxed{f'(x) = \frac{1 - 2 \ln x}{x^3}}$$

Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$ dentro del dominio $(0, +\infty)$: $$\frac{1 - 2 \ln x}{x^3} = 0 \implies 1 - 2 \ln x = 0 \implies \ln x = \frac{1}{2}$$ $$x = e^{1/2} = \sqrt{e}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico. Como el denominador $x^3$ es siempre positivo para $x \in (0, +\infty)$, el signo de $f'(x)$ depende únicamente del numerador $1 - 2 \ln x$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, \sqrt{e}) & \sqrt{e} & (\sqrt{e}, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En $(0, \sqrt{e})$, elegimos $x=1$: $f'(1) = \frac{1-0}{1} = 1 > 0$. La función es **creciente**. - En $(\sqrt{e}, +\infty)$, elegimos $x=e$: $f'(e) = \frac{1-2}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0$. La función es **decreciente**. 💡 **Tip:** Un punto crítico es un extremo relativo si la derivada cambia de signo a su alrededor. Si pasa de $+$ a $-$, es un máximo.

Como la función crece a la izquierda de $x = \sqrt{e}$ y decrece a su derecha, existe un **máximo relativo** en ese punto. Calculamos la ordenada del máximo sustituyendo en $f(x)$ (con $a=0$): $$f(\sqrt{e}) = \frac{\ln(\sqrt{e})}{(\sqrt{e})^2} = \frac{1/2}{e} = \frac{1}{2e}$$ No existen mínimos relativos en el dominio indicado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (0, \sqrt{e}) \\ &\text{Decrecimiento: } (\sqrt{e}, +\infty) \\ &\text{Máximo relativo en: } \left(\sqrt{e}, \frac{1}{2e}\right) \end{aligned}}$$