Integral definida con parámetro en el exponente

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Calcula el valor de $k$ para que $$\int_{1}^{3} e^{x-k}(x-2)\,dx=2.$$ Como $e^{x-k}=e^x\,e^{-k}$ y $e^{-k}$ no depende de $x$: $$\int_{1}^{3} e^{x-k}(x-2)\,dx=e^{-k}\int_{1}^{3} e^x(x-2)\,dx.$$

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Calcula el valor de $k$ para que $$\int_{1}^{3} e^{x-k}(x-2)\,dx=2.$$ Buscamos una función cuya derivada sea $e^x(x-2)$. Observamos que: $$\frac{d}{dx}\big(e^x(x-3)\big)=e^x(x-3)+e^x=e^x(x-2).$$ Luego una primitiva es: $$\int e^x(x-2)\,dx=e^x(x-3)+C.$$

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Calcula el valor de $k$ para que $$\int_{1}^{3} e^{x-k}(x-2)\,dx=2.$$ Calculamos la integral definida: $$\int_{1}^{3} e^x(x-2)\,dx=\big[e^x(x-3)\big]_{1}^{3}.$$ Evaluamos: - En $x=3$: $e^3(3-3)=0$. - En $x=1$: $e^1(1-3)=e(-2)=-2e$. Por tanto: $$\big[e^x(x-3)\big]_{1}^{3}=0-(-2e)=2e.$$ Entonces la condición del enunciado queda: $$e^{-k}\cdot 2e=2\Rightarrow 2e^{1-k}=2\Rightarrow e^{1-k}=1\Rightarrow 1-k=0\Rightarrow k=1.$$ Resultado: **$\boxed{k=1}$**.