Análisis 2025 Andalucia
Primitiva de una función racional y condición de paso por un punto
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por
$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}.$$
Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $\left(0,\,\frac{\pi}{4}\right)$.
Paso 1
Reescribir el denominador completando el cuadrado
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por
$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}.$$
Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $\left(0,\,\frac{\pi}{4}\right)$.
Completamos el cuadrado:
$$x^2+2x+2=(x+1)^2+1.$$
Paso 2
Calcular una primitiva general
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por
$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}.$$
Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $\left(0,\,\frac{\pi}{4}\right)$.
Entonces:
$$\int \frac{1}{x^2+2x+2}\,dx=\int \frac{1}{(x+1)^2+1}\,dx.$$
Usamos que:
$$\int \frac{1}{u^2+1}\,du=\arctan(u)+C.$$
Con $u=x+1$ (y $du=dx$), obtenemos la primitiva general:
$$F(x)=\arctan(x+1)+C.$$
Paso 3
Imponer que la gráfica pase por (0, π/4) y hallar C
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por
$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}.$$
Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $\left(0,\,\frac{\pi}{4}\right)$.
La condición es:
$$F(0)=\frac{\pi}{4}.$$
Sustituimos en $F(x)=\arctan(x+1)+C$:
$$\arctan(1)+C=\frac{\pi}{4}.$$
Como $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$, queda:
$$\frac{\pi}{4}+C=\frac{\pi}{4}\Rightarrow C=0.$$
Paso 4
Primitiva pedida
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por
$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}.$$
Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $\left(0,\,\frac{\pi}{4}\right)$.
Por tanto, una primitiva cuya gráfica pasa por el punto dado es:
$$\boxed{F(x)=\arctan(x+1)}.$$