Límite con parámetros y Regla de L'Hôpital

Para resolver el límite, primero evaluamos la expresión en $x = 0$ para identificar posibles indeterminaciones: $$\lim_{x o 0} \frac{\text{sen}(x) - ax + 2 - 2 \cos(x)}{e^x - x \cos(x) - 1} = \frac{\text{sen}(0) - a(0) + 2 - 2\cos(0)}{e^0 - 0\cos(0) - 1} = \frac{0 - 0 + 2 - 2(1)}{1 - 0 - 1} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. 💡 **Tip:** Cuando nos encontramos con una indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ en una función derivable, podemos aplicar la **Regla de L'Hôpital**, que establece que $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si este último existe.

Aplicamos la Regla de L'Hôpital derivando el numerador y el denominador de forma independiente: - Derivada del numerador: $(\text{sen}(x) - ax + 2 - 2\cos(x))' = \cos(x) - a + 2\text{sen}(x)$. - Derivada del denominador (usando la regla del producto para $x\cos(x)$): $(e^x - x\cos(x) - 1)' = e^x - (\cos(x) - x\text{sen}(x)) = e^x - \cos(x) + x\text{sen}(x)$. El límite se convierte en: $$\lim_{x o 0} \frac{\cos(x) - a + 2\text{sen}(x)}{e^x - \cos(x) + x\text{sen}(x)}$$ Evaluamos de nuevo el denominador en $x=0$: $$e^0 - \cos(0) + 0\cdot\text{sen}(0) = 1 - 1 + 0 = 0$$ Como el enunciado afirma que el **límite es finito**, si el denominador tiende a $0$, el numerador también debe tender necesariamente a $0$ para evitar que el límite sea infinito (debe mantenerse la indeterminación para poder seguir operando). Por tanto: $$\cos(0) - a + 2\text{sen}(0) = 0 \implies 1 - a + 0 = 0 \implies a = 1$$ ✅ **Resultado (parámetro a):** $$\boxed{a = 1}$$

Sustituimos $a = 1$ en la expresión del límite tras la primera derivación: $$\lim_{x o 0} \frac{\cos(x) - 1 + 2\text{sen}(x)}{e^x - \cos(x) + x\text{sen}(x)}$$ Volvemos a tener una indeterminación $\frac{0}{0}$, por lo que aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez: - Derivada del numerador: $(\cos(x) - 1 + 2\text{sen}(x))' = -\text{sen}(x) + 2\cos(x)$. - Derivada del denominador: $(e^x - \cos(x) + x\text{sen}(x))' = e^x - (-\text{sen}(x)) + (1\cdot\text{sen}(x) + x\cos(x)) = e^x + 2\text{sen}(x) + x\cos(x)$. El límite ahora es: $$\lim_{x o 0} \frac{-\text{sen}(x) + 2\cos(x)}{e^x + 2\text{sen}(x) + x\cos(x)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada del producto $(uv)' = u'v + uv'$. Aquí la hemos aplicado sobre $x\text{sen}(x)$ obteniendo $\text{sen}(x) + x\cos(x)$.

Evaluamos el límite obtenido sustituyendo $x = 0$: $$\lim_{x o 0} \frac{-\text{sen}(x) + 2\cos(x)}{e^x + 2\text{sen}(x) + x\cos(x)} = \frac{-\text{sen}(0) + 2\cos(0)}{e^0 + 2\text{sen}(0) + 0\cdot\cos(0)}$$ $$\frac{0 + 2(1)}{1 + 0 + 0} = \frac{2}{1} = 2$$ El valor del límite es $2$. ✅ **Resultado (valor del límite):** $$\boxed{L = 2}$$