Sistema con tres naturales: comprobar si 15 es posible y hallar soluciones

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones? Llamamos: - $x$: primer número natural, - $y$: segundo número natural, - $z$: tercer número natural. Del enunciado: $$x+y+z=22,$$ $$4x+3y+2z=61.$$

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones? De $x+y+z=22$ despejamos $x=22-y-z$ y sustituimos en la segunda ecuación: $$4(22-y-z)+3y+2z=61.$$ Desarrollamos y simplificamos: $$88-4y-4z+3y+2z=61\Rightarrow 88-y-2z=61\Rightarrow y+2z=27.$$ Así, $$y=27-2z.$$ Volvemos a $x=22-y-z$: $$x=22-(27-2z)-z=22-27+2z-z=z-5.$$ Por tanto, todas las soluciones (en función de $z$) son: $$\boxed{(x,y,z)=(z-5,\,27-2z,\,z)}.$$

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones? Para que $x,y,z$ sean naturales, exigimos: $$x=z-5\ge 1,\quad y=27-2z\ge 1,\quad z\in\mathbb{N}.$$ Entonces: - $z-5\ge 1\Rightarrow z\ge 6$, - $27-2z\ge 1\Rightarrow 2z\le 26\Rightarrow z\le 13$. Luego $z\in\{6,7,8,9,10,11,12,13\}$ y las soluciones son: - $z=6\Rightarrow (x,y,z)=(1,15,6)$, - $z=7\Rightarrow (2,13,7)$, - $z=8\Rightarrow (3,11,8)$, - $z=9\Rightarrow (4,9,9)$, - $z=10\Rightarrow (5,7,10)$, - $z=11\Rightarrow (6,5,11)$, - $z=12\Rightarrow (7,3,12)$, - $z=13\Rightarrow (8,1,13)$. Nota: si en tu criterio “natural” incluye el $0$, entonces también valdría $z=5\Rightarrow (x,y,z)=(0,17,5)$.

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones? De la lista anterior vemos que aparece $15$ en la solución: $$(x,y,z)=(1,15,6).$$ Por tanto, **sí es posible que 15 sea uno de los tres números**, concretamente el segundo. Además, **sí existen otras opciones**, y son todas las soluciones listadas en el paso anterior.