Sistema de ecuaciones: compra de ropa con descuentos

**a) [1,25 puntos] ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razona la respuesta.** Primero, definimos las variables que representan los precios de las prendas antes de las rebajas: - $x$: precio del jersey (€) - $y$: precio de la camisa (€) - $z$: precio del pantalón (€) De los datos del enunciado, planteamos las dos primeras ecuaciones: 1. Gasto total de 80€: $x + y + z = 80$ 2. El jersey es un tercio de la camisa y el pantalón juntos: $x = \frac{1}{3}(y + z)$ Multiplicamos la segunda ecuación por 3 para eliminar el denominador: $$3x = y + z \implies 3x - y - z = 0$$ El sistema inicial es: $$\begin{cases} x + y + z = 80 \\ 3x - y - z = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable limpiar las fracciones al inicio para facilitar el manejo de las ecuaciones.

Para saber si los precios son únicos, analizamos el sistema. Tenemos 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Sumamos las dos ecuaciones para intentar aislar una variable: $$(x + y + z) + (3x - y - z) = 80 + 0$$ $$4x = 80 \implies x = \frac{80}{4} = 20$$ Como vemos, el valor de $x$ (el jersey) es **fijo y único: 20€**. Sin embargo, para la camisa ($y$) y el pantalón ($z$), si sustituimos $x=20$ en la primera ecuación: $$20 + y + z = 80 \implies y + z = 60$$ Cualquier combinación de $y$ y $z$ que sume 60 (por ejemplo $y=30, z=30$ o $y=10, z=50$) cumpliría las condiciones. **Justificación mediante rangos:** La matriz de coeficientes $A$ y la ampliada $A^*$ son: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 80 \\ 3 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 3 = -4 \neq 0$, el $rg(A) = 2$. Como solo hay dos filas, $rg(A^*) = 2$. Al ser $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt n=3$ (incógnitas), según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El precio del jersey es único (20€), pero el de la camisa no se puede determinar de forma única.}}$$

**b) [1,25 puntos] Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 57€, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del 30 %, del 40 % y del 20 %, respectivamente. Calcula el precio de cada prenda antes de las rebajas.** Si una prenda tiene un descuento del $d\%$, pagamos el $(100-d)\%$ de su precio. Por tanto: - Jersey (30% dto.): paga $0,70x$ - Camisa (40% dto.): paga $0,60y$ - Pantalón (20% dto.): paga $0,80z$ La nueva ecuación es: $0,7x + 0,6y + 0,8z = 57$. Ahora tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: $$\begin{cases} x + y + z = 80 \\ 3x - y - z = 0 \\ 0,7x + 0,6y + 0,8z = 57 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para trabajar sin decimales, podemos multiplicar la tercera ecuación por 10: $7x + 6y + 8z = 570$.

Ya sabemos del apartado anterior que **$x = 20$**. Sustituimos este valor en las otras dos ecuaciones para hallar $y$ y $z$: 1) $20 + y + z = 80 \implies y + z = 60$ 2) $7(20) + 6y + 8z = 570 \implies 140 + 6y + 8z = 570 \implies 6y + 8z = 430$ Simplificamos la segunda dividiendo entre 2: $3y + 4z = 215$. Resolvemos el sistema de 2x2 por sustitución. De $y + z = 60$ despejamos $y$: $$y = 60 - z$$ Sustituimos en la otra ecuación: $$3(60 - z) + 4z = 215$$ $$180 - 3z + 4z = 215$$ $$z = 215 - 180 \implies \mathbf{z = 35}$$ Ahora calculamos $y$: $$y = 60 - 35 \implies \mathbf{y = 25}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Jersey: } 20€, \text{ Camisa: } 25€, \text{ Pantalón: } 35€}$$